Существуют ли ненулевые целые числа $$n_1,\quad n_2,\quad\dots,\quad n_{2018}$$ такие, что $$n_1n_2\dots n_{2018}=(n_1+n_2)(n_2+n_3)\dots (n_{2018}+n_1)$$?

задан 29 Мар '18 2:38

1

Я тут уже много вариантов перепробовал, пытаясь составить числа из степеней двоек с разными знаками. Пока получаются примеры только для случая, когда общее количество делится на 3. Не знаю пока, "фатально" ли это ограничение.

(30 Мар '18 0:52) falcao

@falcao, у меня та же ситуация, причём делится должно не только на 3, но и на 6, иначе будет нечётное число минусов, например, -1, 2, 2.

(30 Мар '18 1:08) Казвертеночка

@Казвертеночка: насчёт обязательности чётности, я этого не замечал, хотя сейчас посмотрел кое-какие примеры -- там вроде бы знаки и в самом деле отличаются. Но из этого всего пока никак не вытекает отрицательный ответ. Я продолжаю надеяться, что он положителен.

(30 Мар '18 1:27) falcao
1

@falcao: $$(3+5)(5+10)(10-8)(-8+3)=3\cdot5\cdot10\cdot(-8)$$

(30 Мар '18 20:27) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: хороший пример. Потом, наверное, имелось в виду, что это дело циклически повторяем. Тогда есть надежда на то, что числа где-то можно будет удачно "разбавить" и построить другие примеры. Интересно, можно ли сочинить пример с нечётным количеством.

(30 Мар '18 22:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
4

Скажите, пожалуйста, а что значит ваша метка "известные_задачи_в_переработке" ? Не значит ли это, что вы где-то увидили эту задачу, например, для трех чисел, а потом взяли и решили попробовать ее решить для 2018 чисел? Просто, в таком случае можно получить еще одну "Великую теорему Ферму". Дело в том, что "природа" умножения и сложения чисел совсем разная. Поэтому, скомбинировав умножение и сложение, можно получить хоть милион открытых проблем. Мои незначительные продвижения в вашей задачи привели к следующему. Замена: $$x_1=\frac{n_1}{n_{2018}}, \; x_2=\frac{n_2}{n_1}, \; x_3=\frac{n_3}{n_2}, ... \; x_{2018}=\frac{n_{2018}}{n_{2017}}, \;$$ Тогда ваша задача сводится к вопросу существуют ли ненулевые рациональные числа, удовлетворяющие условиям $$(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_{2018})=1 \\ x_1x_2...x_{2018}=1$$ Доказать, что их не существует, использовав какие-то известные неравенства или что-то в этом духе, врятли получится, ибо иррациональные существуют, а специфических неравенств для рациональных, вроде бы, нет. С другой стороны, не получается подобрать пример.

ссылка

отвечен 30 Мар '18 14:41

1

@Witold2357, Вы пишете: "Скажите, пожалуйста, а что значит ваша метка "известные_задачи_в_переработке" ?"

В оригинальной задаче было 2008 вместо 2018. Вот ссылка: http://ashap.info/Turniry/Savin/Kvant2008-05.pdf (зад №13)

(30 Мар '18 15:29) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: решения там не приводится, но 2008 тоже не кратно трём! Это меня несколько удивило. Если есть такой пример, то и для 2018 он может найтись. А Вам известно решение для числа "десятилетней давности"?

(30 Мар '18 19:50) falcao

@falcao, Вы пишете: " А Вам известно решение для числа "десятилетней давности"?"

Увы, неизвестно :(

(31 Мар '18 0:27) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
4

Тут @EdwardTurJ подал хорошую идею рассмотрения примеров с небольшим количеством чисел. Я взял числа 2,-1,-3,4. Произведение равно 24, а произведение сумм соседей отличается знаком: оно равно (2-1)(-1-3)(-3+4)(4+2)=-24. Если повторить последовательность дважды, то получится 8 чисел 2,-1,-3,4,2,-1,-3,4. Здесь уже оба произведения равны 576. Число 8 сравнимо с 2018 по модулю 6. Теперь достаточно взять пример из 6 чисел, который фигурировал раньше: 2,2,2,-1,2,-1, где оба произведения равны 16, и добавить 335=2010/6 копий этой последовательности в начало: 2,2,2,-1,2,-1,...,2,2,2,-1,2,-1,2,-1,-3,4,2,-1,-3,4. Получится требуемый пример.

Судя по всему, примеры есть для всех чисел в количестве n>=4. Скажем, с пятью числами есть пример 2, -3, -3, 4, 4, причём он далеко не единственный. Увеличивать на 6 мы уже умеем, поэтому достаточно построить небольшое число примеров. Скажем, набор из 7 чисел подходит такой: 1, 2, 1, 1, -3, 4, -3, и так далее.

ссылка

отвечен 30 Мар '18 23:26

@falcao, очень большое спасибо!

(31 Мар '18 0:28) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,062
×195
×41
×24
×5

задан
29 Мар '18 2:38

показан
266 раз

обновлен
31 Мар '18 0:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru