Составил задачку. Решается чисто математически и строго (по физике не надо ничего знать).

На плоскости-поверхности планеты находится математик и наблюдает за полетом сверхзвукового самолета, который летит по прямой паралельной плоскости планеты со скоростью превышающей скорость звука в атмосфере. В каждый момент времени от самолета раздается звук во всевозможных направлениях, который можно услышать на любом расстоянии от самолета. Скорость звука постоянна и равна $%v$%. Известно, что в начале своих наблюдений математик еще не слышал звук от самолета, а расстояние между самолетом и математиком уменьшалось на протяжении некоторого промежутка времени. В некоторые моменты времени математик определял "угловую высоту" самолета над горизонтом, т.е. угол между плоскостью планеты и прямой, соединяющей две точки - математика с самолетом. Пусть $%\alpha$% - "угловая высота" самолета в момент, когда математик начал свои наблюдения; $%\beta$% - "угловая высота" самолета в момент, когда самолет находился в ближайшей к математику точке своей траектории; $%\gamma$% - "угловая высота" самолета в момент, , когда математик впервые услышал звук от самолета. Оказалось что $%\sin^2 \beta > \sin^2 \alpha + \sin^2 \gamma$%. Зная значения углов $%\beta, \: \gamma$% и скорость $%v$% звука, вычислить скорость самолета.

задан 29 Мар '18 20:44

изменен 29 Мар '18 20:47

паралельной плоскости планеты* - а планета плоская?... )))

вроде как теоремы синусов должно хватить...

(29 Мар '18 22:09) all_exist
1

@all_exist: да, тут в самом начале про это было сказано ("на плоскости - поверхности планеты").

(29 Мар '18 22:19) falcao

Отвечаю на комментарий ответом, ибо не могу комментов писать. Теоремы синусов точно не хватит)) Без исследования функции на минимум не обойтись. Р.S. Подсказка: чтобы проще было решать, надо забыть о неравенстве. Оно для математической строгости. Р.Р.S. Уточнение: можете считать, что самолет начал движение еще до того, как за ним начал наблюдать математик. А можете считать, что начал двигатся одновременно с началом наблюдений. На решение это не повлияет.

(29 Мар '18 22:25) Witold2357
1

Аааа... дык, они не на одной прямой... ))))

(29 Мар '18 22:51) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
4

"По многочисленным просьбам трудящихся" опишу не свой решение... )))
Правда на картинках обозначение точек не согласовано, но надеюсь за это меня простят... )))

Первая картинка плоская, но понятно, что это не принципиально...
Тут поясняется идея того, что "звуковой фронт - это конус"... Если $%AB$% - это перемещение самолёта за единицу времени, то жёлтая окружность - это множество точек, до которых распространится звук из точки $%A$%...
Проводим касательные из точки $%B$% к этой окружности... Из соображений подобия очевидно, что из каждой точки отрезка $%AB$% звук за пределы проведённых касательных не попадёт...

alt text

Ну, а дальше простая геометрия... $%S$% - это точка наблюдателя...

alt text

ссылка

отвечен 1 Апр '18 2:04

10|600 символов нужно символов осталось
4

Звуковой фронт будет представлять собой конус у которого угол между осью и образующкй $%\psi $%.

$$ sin (\psi)= \dfrac {v}{V}= \dfrac {sin(\gamma)}{sin (\beta) } $$ Где $%V $% -скорость самолета .

P.S. угол между начальным направлением на самолет и направлением на самолет в момент достижения ушей математика звукового фронта $%\ge 90^0 $% , поэтому смотрите выше))

ссылка

отвечен 30 Мар '18 1:47

изменен 30 Мар '18 8:58

10|600 символов нужно символов осталось
2

Изложу свое решение без физики. Было бы ошибочно считать, что математик впервые услышит звук, пришедший к нему из начальной точки траектории самолета. Во первых, это не доказано. Во вторых, это неверно (нестрогие соображения следующие: скорость самолета больше скорости звука. Следовательно, самолет приближается к математику быстрее, чем звук). Поэтому для начала выясним из какой именно точки траектории самолета звук придет к математику раньше, чем из других точек его траектории. Введем систему координат, в которой поверхность планеты - это плоскость $%x0z$%; математик имеет координаты $%(0;\: 0; \: d)$%, где $%d \ge 0$%; самолет летит в плоскости $%x0y$% паралельно оси $%0x$% в положительном направлении этой оси. Пусть $%(x_0; \: h; \: 0)$% - координаты точки, в которой был самолет в момент начала наблюдений математика. Тут $%x_0<0; \; h>0$%. Считаем, что самолет начал лететь еще до того, как за ним начал наблюдать математик. Пусть $%(a; \: h; \: 0)$% - координаты самолета, когда он начал лететь. Тут $%a \le x_0$%. Пусть $%u$% - скорость самолета. Пусть самолет в начальной точке траектории был в 00:00 часов по московскому времении. Тогда в точке з абсцисой $%x$% самолет будет в $%\frac{x-a}{u}$% часов по московскому времени. Из этой точки до математика звук будет идти $%\frac{\sqrt{x^2+h^2+d^2}}{v}$% часов. Следовательно, из точки с абсцисой $%x$% звук к математику придет в $%\frac{x-a}{u}+\frac{\sqrt{x^2+h^2+d^2}}{v}$% часов по московскому времени. Получаем функцию $%t(x)=\frac{x-a}{u}+\frac{\sqrt{x^2+h^2+d^2}}{v}$%. Нам надо исследовать эту функцию на минимум на отрезке $%[a;0]$%. Если мы найдет точку минимума этой функции, то тем самым найдем абсцису $%x$% точки траектории самолета, из которой звук к математику придет раньше, чем из других точек. Легко убедится, что производная $%\frac{dt(x)}{dx}$% имеет такой же знак (плюс или минус), какой имеет выражение $%\frac{v^2(h^2+d^2)}{u^2-v^2}-x^2$%. Дальше надо рассмотреть два случая: когда $%a>-\frac{v \sqrt{h^2+d^2}}{\sqrt{u^2-v^2}}$% и когда $%a \le -\frac{v \sqrt{h^2+d^2}}{\sqrt{u^2-v^2}}$%. В первом случае мы придем к противоречию - не будет иметь место неравенство с синусами из условия задачи (замечу, что рассмотрение этого случая немножко громоздкое и поэтому тут писать его не стану). Ну, а во втором случае легко видеть, что наша функция $%t(x)$% имеет минимум на отрезке $%[a; \: 0]$% в точке $%x=-\frac{v \sqrt{h^2+d^2}}{\sqrt{u^2-v^2}}$%. Подставив это значение $%x$% в выражение для $%t(x)$%, получим что математик впервые услышит звук в $%t=-\frac{a}{u}+\frac{\sqrt{(u^2-v^2)(h^2+d^2)}}{uv}$% часов по московсковскому времени. В этот момент самолет будет уже в точке с абсцисой $%x_1=а+ut=\frac{\sqrt{(u^2-v^2)(h^2+d^2)}}{v}$%. Поэтому $%\sin \gamma=\frac{h}{\sqrt{x_1^2+h^2+d^2}}=\frac{hv}{u\sqrt{h^2+d^2}}$%. С другой стороны, $%\sin \beta=\frac{h}{\sqrt{h^2+d^2}} $% . Поэтому на основании последних двух формул получим, что скорость самолета $%u=\frac{v\sin \beta}{\sin \gamma}$%.

ссылка

отвечен 30 Мар '18 2:11

изменен 1 Апр '18 2:30

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,684
×1,369
×1,112
×307
×178

задан
29 Мар '18 20:44

показан
607 раз

обновлен
1 Апр '18 2:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru