аналитическая-геометрия - Эллипс, гипербола, касательные

@Казвертеночка, если градиент не нравится, то такой вариант...

Рассмотрим каноническое уравнение эллипса... и две параллельные касательные...
Сделаем сжатие вдоль главной оси и получим окружность... при этом касательные останутся касательными и параллельность так же сохранится...
Диаметральное расположение точек касания на окружности весьма очевидно (ну, или доказывается геометрически)...

Гиперболу тоже сожмём/растянем... и повернём, чтобы получить уравнение $%xy = 1$%...
Для такой гиперболы является достаточно известным фактом то, точка касания находится посредине между точками пересечения прямой и координатными осями... то есть, если точка касания имеет координаты $%(x_0;\; y_0)$%, то касательная пересекает координатные оси в точках $%(2x_0;\;0)$% и $%(0;\; 2y_0)$%...
Таким образом, на одной ветви гиперболы нет параллельных касательных... а по симметрии, вторая касательная располагается симметрично относительно начала координат...

=========================================

Можно конечно не рассматривать растяжения, а смотреть на систему $$ \begin{cases} \dfrac{x^2}{a^2} \pm \dfrac{y^2}{b^2} =1 \\ y = \alpha x + \gamma \end{cases} $$ и смотреть на значения параметров $%\alpha$% и $%\gamma$%, при которых система имеет единственное решение... (поскольку вертикальные касательные параллельны и проходят через точки пересечения эллипса/гиперболы с осью икс, что следует из геометрических свойств этих кривых, то рассмотрения уравнений прямой, которое написано в системе, достаточно)