Доказать,что две касательные к 1) эллипсу 2) гиперболе параллельны тогда и только тогда, когда точки касания принадлежат одному диаметру

задан 29 Мар '18 21:25

1

сравните градиенты для канонических уравнений...

(29 Мар '18 22:05) all_exist
1

мы не проходили градиенты

(29 Мар '18 22:31) Желтая кукуруза
1

мы не проходили градиенты - ну, они же нормальные векторы касательных... или как у Вас определялось уравнение касательной?..

(29 Мар '18 22:45) all_exist

@all_exist, так какое там доказательство-то?

(7 Фев 11:09) Казвертеночка
1

@Казвертеночка, а чем Вам рассмотрение градиентов не нравится?...

(7 Фев 16:13) all_exist

@all_exist, что-то ужасно мешало школьными методами решить?

(7 Фев 18:36) Казвертеночка
1

ну, можно просто симметрией воспользоваться...

(7 Фев 19:01) all_exist
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
2

@Казвертеночка, если градиент не нравится, то такой вариант...

Рассмотрим каноническое уравнение эллипса... и две параллельные касательные...
Сделаем сжатие вдоль главной оси и получим окружность... при этом касательные останутся касательными и параллельность так же сохранится...
Диаметральное расположение точек касания на окружности весьма очевидно (ну, или доказывается геометрически)...

Гиперболу тоже сожмём/растянем... и повернём, чтобы получить уравнение $%xy = 1$%...
Для такой гиперболы является достаточно известным фактом то, точка касания находится посредине между точками пересечения прямой и координатными осями... то есть, если точка касания имеет координаты $%(x_0;\; y_0)$%, то касательная пересекает координатные оси в точках $%(2x_0;\;0)$% и $%(0;\; 2y_0)$%...
Таким образом, на одной ветви гиперболы нет параллельных касательных... а по симметрии, вторая касательная располагается симметрично относительно начала координат...

=========================================

Можно конечно не рассматривать растяжения, а смотреть на систему $$ \begin{cases} \dfrac{x^2}{a^2} \pm \dfrac{y^2}{b^2} =1 \\ y = \alpha x + \gamma \end{cases} $$ и смотреть на значения параметров $%\alpha$% и $%\gamma$%, при которых система имеет единственное решение... (поскольку вертикальные касательные параллельны и проходят через точки пересечения эллипса/гиперболы с осью икс, что следует из геометрических свойств этих кривых, то рассмотрения уравнений прямой, которое написано в системе, достаточно)

ссылка

отвечен 7 Фев 21:45

@all_exist, большое спасибо!

(8 Фев 0:46) Казвертеночка
1

@Казвертеночка, не за что...

(8 Фев 1:19) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×801

задан
29 Мар '18 21:25

показан
620 раз

обновлен
8 Фев 1:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru