Пусть $% x_1 = a, x_2 = b, $% найти предел последовательности $% x_{n+2} = \frac{x_{n+1}+x_{n}}{2} $%
P.S. Хотелось бы общего алгоритма или какой-то общей идеей для решения таких пределов без вычисления замкнутой формы этой последовательности.


Задача с реального задачника, ответ ниже не засчитываю, т.к. я просил без вычисления замкнутой формы.
Также прошу заметить, что минусы поставленные на эту задачу скорее всего были поставлены одним человеком с разных аккаунтов, а именно Witold2357, т.к. они были поставлены все за одну минуту. (Мое предположение) (Также кто-то удалил мой коментарий по поводу этой задачи, скорее всего это сделал опять же Witold2357)

задан 30 Мар 12:28

изменен 30 Мар 13:42

10|600 символов нужно символов осталось
3

Тут можно обсудить несколько способов решения. Прежде всего, это рекуррентная последовательность, для которой составляется характеристическое уравнение $%t^2-\frac12t-\frac12=0$%. Корни здесь "хорошие", то есть $%t_1=-\frac12$% и $%t_2=1$%, и из общей теории следует формула $%x_n=c_1t_1^n+c_2t_2^n$%, где $%c_1$%, $%c_2$% -- произвольные константы. В данном случае получается $%x_n=c_1(-\frac12)^n+c_2$%, и предел равен $%c_2$%. Из начальных условий выводится $%c_2=\frac{a+2b}3$%. Здесь хотя и возникает общая формула, но это происходит по "алгоритму", который пригоден для широкого класса рекуррентых последовательностей.

Часто применяется и такой метод, когда существование предела доказывают через монотонность и ограниченность (при этом сама последовательность может не быть монотонной, но это бывает верно для подпоследовательностей с номерами фиксированной чётности). Потом подставляют неизвестное значение предела в формулу, и находят его из уравнения. Здесь это ничего не даёт, так как получается $%x=x$%. Тем не менее, начать можно с доказательства существования самого предела.

Рассмотрим случай $%a < b$% и подойдём к задаче геометрически. Тогда мы сначала получим середину отрезка, потом середину отрезка справа от неё, которая разбивает некоторый отрезок пополам. Потом берём середину отрезка слева от этой точки, и далее чередуем "право" и "лево". Отсюда по принципу стягивающихся отрезков следует существование предела. Его даже можно найти явно, так как получается ряд, который легко суммируется. А именно, к $%\frac{a+b}2$% мы прибавляем $%\frac{b-a}4$%, вычитаем $%\frac{b-a}8$%, и так далее, то есть получается бесконечная геометрическая прогрессия.

Если мы не хотим суммировать ряды, то можно поступить так. Предел всегда существует, и пусть для "базисного" случая $%a=0$%, $%b=1$% он равен $%x$%. Тогда сразу ясно, что для случая $%a=1$%, $%b=0$% он равен $%1-x$%: достаточно заменить координаты по принципу $%x\mapsto1-x$% (или посмотреть на отрезок "с обратной стороны"). Для второго случая последовательность имеет вид $%1$%, $%0$%, $%\frac12$%, и далее из соображений линейности (смены масштаба) должно получиться $%\frac{x}2$%. Отсюда получается уравнение $%\frac{x}2=1-x$% и ответ $%x=\frac23$%.

Для общего случая снова привлекаем соображения линейности. Последовательность с двумя первыми членами $%a$%, $%b$% раскладывается по базису по принципу $%(a,b)=a(1,0)+b(0,1)$%, и тогда предел равен $%a(1-x)+bx=\frac{a+2b}3$%. Здесь уже формула для общего члена не фигурирует.

Есть и другие подходы, наверное.

ссылка

отвечен 31 Мар 1:22

Спасибо большое, видимо предполагался геометрический метод, иначе непонято чего хотели авторы задачи :)

(31 Мар 2:51) Williams Wol...
10|600 символов нужно символов осталось
1

О каком алгоритме или методе может идти речь, если явная формула для общего члена по детски проста? $%x_n=\frac{2b+a}{3}+\frac{b-a}{3 \cdot (-2)^{n-2}}$%

Р.S. Все ваши последние задачи - это простой тролинг и никто их со временем решать не будет. В даном случае вам троллинг не удался)) Надо было дольше подумать, подбирая последовательность. P.P.S. Затем, что я не позволю хамам хамить.

ссылка

отвечен 30 Мар 12:43

изменен 30 Мар 13:43

Не всегда в жизни бывает просто, на мой вопрос вы не ответили.
Речь о идее связанной, что предел подпоследовательности равен пределу последовательности, но я тут не принимаю как его применить. Или чему-то подобному.

(30 Мар 12:59) Williams Wol...

@Witold2357, зачем вы удаляете мои комментарии?

(30 Мар 13:34) Williams Wol...
1

@Witold2357, там было не хамство, а пояснение, что если я вам не нравлюсь - логично обходить "мои троллинг задачи" стороной. Хамите в данном случае вы, что называете меня хамом. Еще не было случая, что я с кем-то ссорился на этом форуме, Вам стоит задуматься.

(30 Мар 13:45) Williams Wol...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,052
×638
×41

задан
30 Мар 12:28

показан
283 раза

обновлен
31 Мар 2:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru