арифметика - Ноль - конечное число?

Сама процедура счёта заключается прежде всего в заведении "счётчика": без этого начального шага он невозможен. Изначально мы не знаем, "насчитаем" мы что-либо, или нет. Показания счётчика, если мы решили его завести, устанавливаются на нулевую отметку. Далее мы регистрируем все предъявляемые нам для пересчёта элементы, и вместе с каждым из них увеличиваем на единицу показания счётчика. Когда происходит событие "пересчёт закончен", показания счётчика считываются. Соответственно, если в какой-то совокупности вообще нет предметов, то счётчик покажет число ноль.

В точности эта процедура обычно реализуется в компьютерных программах при подсчёте или суммировании чего-либо. Скажем, если мы хотим видеть ответ в ячейке $%s$%, то сначала надо задать команду типа "$%s$% присвоить $%0$%", потому что в этой ячейке памяти что-то уже записано, и без правильной инициализации процесса ответ может оказаться неверным.

Концепций "натурального числа", вообще говоря, имеется две. Каждая из них так или иначе используется, и полагается всегда оговаривать, какая из них берётся за основу. Если мы находимся в рамках школьной математики, или в рамках классической теории чисел, то под "натуральными" принято понимать целые положительные числа. Множество всех таких чисел обозначается через $%{\mathbb N}$%, и нуля там нет. Его можно было бы включить, но это ведёт к неудобствам. В школьном контексте играет роль в том числе и чисто историческое обстоятельство: статус нуля как "полноценного" числа был "узаконен" среди математиков достаточно поздно. Школьная программа так или иначе с этим считается, и ноль вводится чуть позже чисел $%1$%, $%2$%, $%3$%, ... и так далее. В теории чисел даже единица доставляет некоторые хлопоты (например, оно не относится ни к простым, ни к составным), и с нулём было бы ещё хуже (надо было бы делать оговорку в формулировке основной теоремы арифметики и т.\,д.).

В математической логике, в программировании, в каких-то ещё более современных разделах математики удобнее использовать слово "натуральное" по отношению к целым неотрицательным числам. Соответственно, там для этого понятия используется другое обозначение, то есть $%{\mathbb N}_0$% или $%\omega$% (лично я всегда предпочитаю последнее).

Это что касается терминологии. Если же говорить об определении конечного множества, то пустое множество всегда считается таковым. Иное соглашение было бы неудобно. Скажем, исчез бы такой естественный и простой факт о том, что всякое подмножество конечного множества конечно. Пришлось бы делать оговорку "или пусто". Тогда вообще было бы логично не рассматривать пустое множество как таковое. Но это "архаичный" подход, и он не вызывает ничего кроме массы неудобств. Далее, здесь уже отмечалось, что одним из определений конечности множества (конечность по Дедекинду) является факт неравномощности множества никакому подмножеству, отличному от самого множества. Для пустого множества это верно.

У нуля, вообще говоря, есть свойства, которые его как-то сближают с т.н. "бесконечностью" (хотя последнее надо ещё определить как следует). Так, у нуля нет предшествующего элемента среди натуральных чисел, а у остальных чисел он есть. Но здесь, кстати, сам ноль как раз нужен, чтобы единица имела предшествующий элемент. Понятно, что у "бесконечности", которая в одной из концепций как бы "следует" за всеми натуральными числами вместе взятыми, также нет предшествующего элемента. Но из этого нельзя делать вывод, что ноль непременно надо относить к той же категории: мало ли, у кого с чем обнаруживаются общие свойства? В конечном счёте, здесь всё является предметом соглашения, а критерием выбора является удобство или неудобство.

Можно, конечно, спорить о том, является ли ноль натуральным числом, но что не вызывает никаких сомнений - ноль является действительным числом, т.к. его исключение из множества действительных чисел создало бы в этом множестве невосполнимую "дыру" и разрушило бы его как алгебраическую структуру (поле). По этой же причине ноль нельзя исключить и из множества рациональных чисел, да и из множества целых чисел тоже (кольцо также не может существовать без нуля). А все элементы упомянутых множеств по определению конечны.

Бесконечные числа - это трансфиниты, но ноль к трансфинитам никак нельзя отнести, т.к. он не обладает почти никакими из их свойств.