Мой вопрос может показаться странным. Попробую объяснить, что вызвало у меня сомнения.

Сначала начнем с конечных чисел. Очевидно, что если не выходить за рамки целых чисел, то единица - конечное число.

А теперь представим, что перед нами три мешка с шариками. Сколько шариков в первом мешке? Один, два, три. А во втором? Во втором - бесконечное множество шариков. Почему же мы говорим во втором случае об бесконечности? А потому, что если мы начнем считать вручную количество шариков во втором мешке, то мы никогда не закончим.

Третий мешок - пустой, в нем нет шариков. Велик соблазн сказать, что сказав "в этом мешке ноль шариков" мы уже автоматически сосчитали количество шариков в этом мешке, и значит нуль является конечным числом. Но с другой стороны, об втором мешке мы можем сказать "в этом мешке бесконечное множество шариков". И это отнюдь не эквивалентно перечислению всех элементов этого бесконечного множества. Возможно в случае с нулем такая же история. К тому же, если можно бесконечность рассматривать как "мы никогда не закончим счет элементов", то почему бы не рассматривать ситуацию "мы никогда не начнем счет элементов, ибо их просто нет" как разновидность бесконечности?

задан 2 Апр '13 19:11

Нет такого мешка в котором бесконечное число шариков. Числа не бывают бескончнимы.А множество может быть бесконечным, например множесво натуральных чисел.

(2 Апр '13 19:39) ASailyan

Мне больше нравится другое определение бесконечного множества: это множество, у которого есть собственное подмножество, равномощное ему.

Т.е, по-простому, у бесконечного множества часть "равна" целому (равна "по размеру")

(2 Апр '13 19:55) DocentI

" у бесконечного множества часть "равна" целому (равна "по размеру")" Тогда получается, что ноль - это разновидность бесконечности. Следите за ходом моей мысли.

Если мы разделим некий N на 2, то получим уже половину этого N. Но что мы получим, если этим N окажется ноль? Ноль! То есть, это как раз такой случай, когда часть оказывается равна целому. Или я чего-то не понимаю?

(2 Апр '13 20:01) Tsukune

Возьмём отрезок длиной в 1 см и представим, что это плоский мешок. В нём бесконечное множество точек Евклида (на шарики ведь никаких ограничений автором не наложено). А если шарики надо пересчитывать вручную, как предлагает автор, то, конечно, в мешке конечное число шариков. Однако загвоздка не в этом, а в другом: на третьем мешке можно сделать кандидатскую (даже докторскую!) диссертацию: "Как сделать из ничего разновидность бесконечности?" Методически подход уже обозначен. Законодательно этот путь ещё не пресечён. Идея, как мне кажется, замечательная! Не математически, а философски

(2 Апр '13 20:14) nikolaykruzh...

nikolaykruzh, Вы серьезно, или это сарказм?

"Не математически, а философски" В смысле, это надо понимать как "это все пустая болтовня"?

(2 Апр '13 20:20) Tsukune

Деление пополам тут ни при чем, речь о множествах. Ноль - размер пустого множества. У пустого множества нет "собственного" подмножества, то есть подмножества, не совпадающего с ним самим.

А вообще, конечно, между 0 и бесконечностью есть сильная связь. Только это не мешает нулю быть конечным.

(2 Апр '13 22:38) DocentI

Я так и не понял, почему ноль считается конечным числом.

(3 Апр '13 7:32) Tsukune

А почему нет? Собственно, все числа - конечные. Бесконечность - не число.

(3 Апр '13 9:22) DocentI
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
0

Ноль, как и любое целое число, с точки зрения арифметики, конечен, потому что он - равноправный член натурального ряда чисел. Но - "чем дальше в лес, тем больше дров". Со времени создания теории пределов ноль стал чем-то вроде "сияющих вершин коммунизма": для масс - это идеал, к которому надо стремиться, а для вождей и их окружения он уже становился реальностью. Размытость нуля стала слишком очевидной для многих математиков. Каждый стремился приспособить нуль к своим целям и своей теории. А тот и в самом деле готов был служить всем и каждому, кто мыслил нестандартно. Особенно усугубила проблему с нулём теория множеств. Так что, пожалуй, так: нуль - это пока "Dinge an sich".

ссылка

отвечен 2 Апр '13 20:38

"потому что он - равноправный член натурального ряда чисел" А вот здесь позвольте не согласится. По крайней мере с точки зрения российских математиков ноль не является натуральным числом.

(3 Апр '13 7:28) Tsukune

Не бывает математиков российских или французских. Уж математика-то интернациональна, как никакая другая наука. Чем начинается натуральный ряд чисел? Если единицей, то я согласен с Вами. Но тогда как численно выразить разность (5 - 5)? Принадлежит ли эта разность натуральному ряду? Чему это равно у российских математиков? А у английских, интересно узнать? Пусть вместо нуля будет символ #, и да благословит нас Господь не выходить за пределы арифметики. Не знаем мы ни пределов, ни теории множеств, ни... и т. д. Проблема с нулём долгое время мешала математике двигаться вперёд.

(3 Апр '13 10:32) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh...: если говорить о содержании математики, то она как бы одна на всех. Если говорить о соглашениях, обозначениях и прочем, то стандарты везде свои. Кто-то тангенс обозначает как $%\tan$%, а кто-то как $%tg$%. В советское время действительно был принят такой школьный стандарт (я считаю, что он удобен), когда ноль полагалось не включать во множество $%{\mathbb N}$% всех натуральных чисел. Это не значит, что его "нет". В европейских странах дело обстоит несколько иначе, но это всё не более чем соглашение.

(3 Апр '13 11:10) falcao

О соглашениях не спорят - спорят о сути. Если принято, что нуль не принадлежит натуральному ряду чисел, то его просто не существует в натуральном ряду де-юре, хотя де-факто его существование подразумевают, потому что без него размышлять ещё хуже, чем с ним. Если бы не существовало запрета: "на нуль делить нельзя", кто бы противился тому, чтобы принять нуль в качестве равноправного члена натурального ряда? Нулевое "облачко" неясностей на горизонте, где нуль и бесконечность требуют своего объяснения, наверное, приведёт к новой "специальной теории относительности", как когда-то.Но не буду гадать.

(3 Апр '13 12:28) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
1

Сама процедура счёта заключается прежде всего в заведении "счётчика": без этого начального шага он невозможен. Изначально мы не знаем, "насчитаем" мы что-либо, или нет. Показания счётчика, если мы решили его завести, устанавливаются на нулевую отметку. Далее мы регистрируем все предъявляемые нам для пересчёта элементы, и вместе с каждым из них увеличиваем на единицу показания счётчика. Когда происходит событие "пересчёт закончен", показания счётчика считываются. Соответственно, если в какой-то совокупности вообще нет предметов, то счётчик покажет число ноль.

В точности эта процедура обычно реализуется в компьютерных программах при подсчёте или суммировании чего-либо. Скажем, если мы хотим видеть ответ в ячейке $%s$%, то сначала надо задать команду типа "$%s$% присвоить $%0$%", потому что в этой ячейке памяти что-то уже записано, и без правильной инициализации процесса ответ может оказаться неверным.

Концепций "натурального числа", вообще говоря, имеется две. Каждая из них так или иначе используется, и полагается всегда оговаривать, какая из них берётся за основу. Если мы находимся в рамках школьной математики, или в рамках классической теории чисел, то под "натуральными" принято понимать целые положительные числа. Множество всех таких чисел обозначается через $%{\mathbb N}$%, и нуля там нет. Его можно было бы включить, но это ведёт к неудобствам. В школьном контексте играет роль в том числе и чисто историческое обстоятельство: статус нуля как "полноценного" числа был "узаконен" среди математиков достаточно поздно. Школьная программа так или иначе с этим считается, и ноль вводится чуть позже чисел $%1$%, $%2$%, $%3$%, ... и так далее. В теории чисел даже единица доставляет некоторые хлопоты (например, оно не относится ни к простым, ни к составным), и с нулём было бы ещё хуже (надо было бы делать оговорку в формулировке основной теоремы арифметики и т.\,д.).

В математической логике, в программировании, в каких-то ещё более современных разделах математики удобнее использовать слово "натуральное" по отношению к целым неотрицательным числам. Соответственно, там для этого понятия используется другое обозначение, то есть $%{\mathbb N}_0$% или $%\omega$% (лично я всегда предпочитаю последнее).

Это что касается терминологии. Если же говорить об определении конечного множества, то пустое множество всегда считается таковым. Иное соглашение было бы неудобно. Скажем, исчез бы такой естественный и простой факт о том, что всякое подмножество конечного множества конечно. Пришлось бы делать оговорку "или пусто". Тогда вообще было бы логично не рассматривать пустое множество как таковое. Но это "архаичный" подход, и он не вызывает ничего кроме массы неудобств. Далее, здесь уже отмечалось, что одним из определений конечности множества (конечность по Дедекинду) является факт неравномощности множества никакому подмножеству, отличному от самого множества. Для пустого множества это верно.

У нуля, вообще говоря, есть свойства, которые его как-то сближают с т.н. "бесконечностью" (хотя последнее надо ещё определить как следует). Так, у нуля нет предшествующего элемента среди натуральных чисел, а у остальных чисел он есть. Но здесь, кстати, сам ноль как раз нужен, чтобы единица имела предшествующий элемент. Понятно, что у "бесконечности", которая в одной из концепций как бы "следует" за всеми натуральными числами вместе взятыми, также нет предшествующего элемента. Но из этого нельзя делать вывод, что ноль непременно надо относить к той же категории: мало ли, у кого с чем обнаруживаются общие свойства? В конечном счёте, здесь всё является предметом соглашения, а критерием выбора является удобство или неудобство.

ссылка

отвечен 3 Апр '13 10:19

10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно, конечно, спорить о том, является ли ноль натуральным числом, но что не вызывает никаких сомнений - ноль является действительным числом, т.к. его исключение из множества действительных чисел создало бы в этом множестве невосполнимую "дыру" и разрушило бы его как алгебраическую структуру (поле). По этой же причине ноль нельзя исключить и из множества рациональных чисел, да и из множества целых чисел тоже (кольцо также не может существовать без нуля). А все элементы упомянутых множеств по определению конечны.

Бесконечные числа - это трансфиниты, но ноль к трансфинитам никак нельзя отнести, т.к. он не обладает почти никакими из их свойств.

ссылка

отвечен 4 Апр '13 1:11

@Андрей Юрьевич: Мне кажется, здесь сам предмет спора довольно специфичен. Речь ведь идёт не о факте, а об удобстве соглашения. Вне всякого сомнения, исключать ноль из множества целых или действительных чисел было бы крайне неудобно -- как минимум, по указанным Вами причинам. Но вот с множеством натуральных чисел дело обстоит иначе. Оказывается, что иногда удобно считать так, а иногда -- этак. В отличие от истины, которая всегда одна, здесь речь идёт об условном соглашении. Поэтому "ответов" тут как бы два. Это примерно как с разными системами координат: можно использовать и те, и другие.

(4 Апр '13 2:46) falcao

Пожалуйста, не включайте 0 в натуральные! А то "полетит" куча олимпиадных задач, например, диофантовых уравнений! :-))

(4 Апр '13 7:24) DocentI

@DocentI: разумеется, я не поддерживаю идею включения нуля во множество $%{\mathbb N}$%. В теории чисел всегда удобнее без нуля в "основном" множестве -- это уже было отмечено. В математической логике -- наоборот. Важнее всего здесь то, что нужны обе концепции, и противоречия тут нет.

(4 Апр '13 8:01) falcao

@falcao, полностью согласен, что включение/невключение нуля в множество натуральных чисел - вопрос соглашения. Но этот вопрос затрагивает еще и такой - насколько можно отждествить пустое множество с нулем ? Ведь единица - это булеан от пустого множества, и на этом основании собственно и строится натуральный ряд (т.е. вообще появляются числа).

(5 Апр '13 17:21) Андрей Юрьевич

@Андрей Юрьевич: если принимать ту концепцию, что вся математика непременно должна строиться на теоретико-множественной основе, то число $%0$% как математический объект обязано быть множеством, и лучшей интерпретации нежели пустое множество тут не подобрать. Я не вижу никаких трудностей, проистекающих из такого отождествления. Для определения (построения) натурального ряда (начинающегося с нуля) именно это удобнее всего.

(5 Апр '13 17:29) falcao

@falcao, пожалуй Вы правы. Но я лично ни в одном из учебников такого (безусловного и безоговорочного) отождествления не встречал.

(5 Апр '13 17:40) Андрей Юрьевич

@Андрей Юрьевич: дело в том, что в школе принят такой подход, когда число -- это число, множество -- это множество, матрица -- это матрица, многочлен -- это многочлен, вектор -- это вектор, и так далее. Отождествлений здесь не делается (за редкими исключениями), но в рамках курса математической логики и формальной теории множеств, даётся стандартное определение числа $%0$% как пустого множества. Можно взять любой учебник -- например, книгу Мендельсона. Там везде определяются ординалы одним и тем же способом, то есть никакое другое определение не подходит.

(5 Апр '13 17:51) falcao

@falcao, указанный Вами подход принят отнюдь не только в школе. Разве вузовские учебники по линейной алгебре и и по математическому анализу ссылаются на определение ординалов в дискретной математике? Обычно вообще дискретная математика стоит в учебном плане после алгебры и матана. Т.е. числа активно используются задолго до своего корректного определения. Я не говорю, что это плохо, но такую фрагментарность изложения, по-моему, необходимо все время компенсировать, подчеркивая подобные отождествления, как только появляется новый подход к определению старого понятия.

(6 Апр '13 20:39) Андрей Юрьевич
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×256
×248

задан
2 Апр '13 19:11

показан
3678 раз

обновлен
6 Апр '13 20:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru