Как недавно рассказал мне уважаемый falcao, множество точек может считаться геометрической фигурой даже в том случае, если в этом множестве находится одна-единственная точка. ( Ссылка)

В связи с чем у меня возникла мысль, что в рамках евклидовой геометрии может существовать фигура, состоящая из нулевого количества точек. То есть, фактически геометрический эквивалент нуля. Если такая фигура действительно может существовать в рамках евклидовой геометрии, то как она называется? И если возможно, перечислите те ее свойства, которые можно понять в рамках 6-го/7-го класса.

задан 2 Апр '13 19:21

изменен 3 Апр '13 22:21

Deleted's gravatar image


126

Вообще-то множество, состоящее из нулевого количества точек, называется пустым множеством, и не представляет особого интереса для математиков.

(2 Апр '13 19:42) MathTrbl

Что пустое множество - это точно, а вот что не представляет интереса - это вряд ли! Недаром же для этого множества придумано и название, и свой значок. В некотором смысле это одно из самых важных множеств математики.

Пример: как записать, что две фигуры не пересекаются? Так: $%A\cap B =\emptyset$%

(2 Апр '13 19:53) DocentI

" называется пустым множеством" Я знаю как называется такое множество. Другое дело, что мне казалось, что подобное множество можно рассматривать как фигуру. Причем фигуру очень особую, ибо в ней нуль точек ^_^

Но значит я неправ, и такая фигура в рамках евклидовой геометрии невозможна?

(2 Апр '13 19:58) Tsukune

Насколько я знаю, термин "фигура" принадлежит скорее школьной математике. В высшей математике рассматривается множество точек. Или, скажем, область (открытая, замкнутая).
А невозможность тут не при чем: это вопрос терминологии, вопрос соглашения.

(2 Апр '13 22:15) DocentI

@Tsukune: у меня по той ссылке в одном из пунктов как раз было сказано, что не только одноточечные фигуры разрешены, а и пустые. Представить себе такую фигуру очень просто. Каждая фигура где-то нарисована: на доске, на бумаге, на пиксельном экране. Мы смотрим на один лист -- там нарисован квадрат. На экране -- одна точка горит. А доска -- чистая-чистая, её только что вымыли. На неё ничего не нарисовано. Это и значит, что на ней (возможно, пока) изображена пустая фигура (пустое множество точек). Считать его фигурой удобно: тогда пересечением любых двух фигур будет фигура, без оговорок.

(2 Апр '13 22:58) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

По определению геометрическая фигура - это множество точек (возможно, пустое). Причем, пустое множество - это единственное из множеств, которое существует априори. Все остальные множества (фигуры) необходимо предварительно описать, только после этого начинается их существование. Например, до этого был разговор об одноточечных множествах. Может ли фигура состоять из одной точки? - Конечно. Является ли произвольная точка фигурой априори? - Нет.
Аналогично фирма, отдел, политическая партия или неформальное объединение может состоять из одного человека, но случайно выбранный человек вообще говоря не является ни фирмой, ни отделом, ни политической партией, ни неформальным объединением.
Все эти вопросы упираются в основания теории множеств. Об этом уже была дискуссия на форуме, и я высказал свои соображения -

пишу адрес вопроса, т.к. ссылка у меня почему-то не вставляется -я попробовала исправить. Видно? (DocentI)

обсуждение

ссылка

отвечен 4 Апр '13 17:52

изменен 4 Апр '13 18:21

DocentI's gravatar image


9.8k1040

А как быть, Андрей Юрьевич, с геометрией? Ведь там точка относится к основным фигурам. Что касается пустого множества, то оно введено с целью построения алгебры множеств (своеобразный "нуль" ).

(4 Апр '13 18:15) Anatoliy

Я бы не сказал, что точка в геометрии относится к основным фигурам. Такая трактовка предполагала бы, что есть понятие фигуры более общее, чем понятие точки. В геометрии же первоначально вводятся основные неопределяемые понятия точки и прямой и только потом появляются фигуры - различные множества точек. С трактовкой пустого множества согласен с некоторыми оговорками (например, множества не образуют кольцо, поэтому пустое множество нельзя рассматривать как классический ноль, т.е. нейтральный элемент).

(5 Апр '13 15:49) Андрей Юрьевич

@Андрей Юрьевич: я согласен с Вами, что при современном изложении геометрии точка рассматривается как нечто "первичное", и это не есть фигура. Другое дело, что множество из одной точки по определению будет фигурой, и её по традиции называют "точкой", что является допустимой вольностью речи. Есть и другая концепция -- это когда считается, что геометрия изучает фигуры, и точка в этом случае рассматривается как фигура "без длины и ширины". Однако даже у Евклида определение ближе к современному. По поводу множеств: они образуют булеву алгебру, и ноль там должен быть.

(5 Апр '13 17:15) falcao

Ну да, @falcao , я с Вами согласен. Просто я уже отметил в другой теме, что вопрос "насколько пустое множество можно отождествить с нулем?" является не совсем праздным.

(5 Апр '13 17:33) Андрей Юрьевич

@Андрей Юрьевич: я готов обсудить этот вопрос, но где это лучше сделать? Наверное, в том обсуждении по ссылке. Я его читал, но пока не понял, где именно Вы там высказываете доводы против этого отождествления.

(5 Апр '13 17:40) falcao

@falcao, я не высказывал доводов против, более того, задавшись сейчас этим вопросом, я думаю, что такое отождествление - правильное. Но если говорить о ссылке, хотелось бы узнать Ваше мнение - что Вы думаете о такой аксиоматике?

(5 Апр '13 17:49) Андрей Юрьевич

@Андрей Юрьевич: сейчас я должен уходить, но вечером постараюсь высказать своё мнение. Там есть один тезис в самом начале, который я всецело принимаю, но есть также положения, которые заслуживают того, чтобы о них подискутировать.

(5 Апр '13 18:38) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,394
×164

задан
2 Апр '13 19:21

показан
1119 раз

обновлен
5 Апр '13 18:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru