Как доказать, что функция $%y=ctg x+x$% не является периодической? Вроде всё сводится к решению уравнения $%ctg(x+T)+x+T=ctg x + x$%, но как доказать что у него нет корней?

задан 1 Апр '18 1:07

10|600 символов нужно символов осталось
2

Обычно такие вещи считаются "очевидными", хотя можно поставить вопрос и о формальном доказательстве. Написанное Вами равенство даёт $%\frac1{\tan(x+T)}=\frac1{\tan x}-T=\frac{1-T\tan x}{\tan x}$%. Отсюда $%\frac{\tan x}{1-T\tan x}=\tan(x+T)=\frac{\tan x+\tan T}{1-\tan x\tan T}$%. Ввиду того, что тангенс принимает любые значения, можно сделать замену $%z=\tan x$%, и получится тождественное равенство $%\frac{z}{1-Tz}=\frac{z+\tau}{1-z\tau}$%, где $%\tau=\tan T$%.

По правилу пропорции, $%z-z^2\tau=z+\tau-Tz^2-T\tau z$%, то есть $%z^2(T-\tau)+T\tau z-\tau=0$%. Чтобы это равенство было тождественным, все коэффициенты должны быть нулевыми, а тогда $%\tau=0$% и $%T=0$%. То есть периода нет.

ссылка

отвечен 1 Апр '18 1:42

10|600 символов нужно символов осталось
1

Достаточно заметить, что периодом функции $%f(x) = x+\text{ctg}\, x$% может быть только число вида $%T=\pi k$%... но тогда $$ f(x+T) = x + T + \text{ctg}\, (x+T) = x + T + \text{ctg}\, x = f(x)+T, $$ следовательно, $%T=0$%...

ссылка

отвечен 1 Апр '18 2:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×915

задан
1 Апр '18 1:07

показан
385 раз

обновлен
1 Апр '18 2:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru