Для множества $%X$% точек на прямой обозначим через $%X′$% множество всех предельных точек множества $%X$%. Рассмотрим ситуацию для любых множеств $%A,B,A1,A2,….$%.

Как правильно обосновать или опровергнуть следующий пример: $$(A \space \bigcup \space B)' = A' \space \bigcup \space B' \space \space \space \space \space \space (1)$$

Определение предельной точки $%a$% для множества $%E$%: $%U_a \space\backslash\space \{a\} \space\bigcap\space E \space\neq\space \emptyset$%

Отрицание множеств: $%A \space\backslash\space B \space = \space A \space\bigcap\space \neg B $%

Следовательно для $%(1)$% будет ли справедливо: $$(A \space\bigcup\space B)' = A' \space\bigcup\space B'$$

$$U_a \space\bigcap\space \neg a \space\bigcap\space (A \space\bigcup\space B) = (U_a \space\bigcap\space \neg a \space\bigcap\space A) \space\bigcup\space (U_a \space\bigcap\space \neg a \space\bigcap\space B)$$

Буду благодарен любому объяснению.

задан 1 Апр '18 4:30

10|600 символов нужно символов осталось
2

Для метрического пространства проще сначала доказать, что точка является предельной для множества в том и только том случае, когда в любой ее окрестности радиуса $%1/n$% имеется бесконечно много точек этого множества. Тогда точка будет предельной для объединения конечного числа множеств в том и только том случае, когда в любой такой ее окрестности имеется бесконечно много точек этого объединения, значит, и бесконечно много точек одного из множеств. Но натуральных чисел бесконечно много, а объединяется конечное число множеств, поэтому событие "в окрестности радиуса $%1/n$% имеется бесконечно много точек одного из множеств" хотя бы для одного из объединяемых множеств повторится для бесконечно многих $%1/n$% . Это доказывает, что левая часть равенства содержится в правой. А обратное включение очевидно и из исходного определения.

ссылка

отвечен 1 Апр '18 9:11

Здесь, наверное, вместо метрического пространства достаточно взять пространство с одной из аксиом отделимости (точку можно отделить окрестностью от другой точки). Тогда, если в проколотую окрестность a попало конечное число точек множества, то все их отделяем, берём пересечение, и это даёт пустое множество. В общем, тут достаточно считать, что точка замкнута.

(1 Апр '18 12:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,615
×623
×251
×5

задан
1 Апр '18 4:30

показан
637 раз

обновлен
1 Апр '18 12:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru