По кругу расставлены 111 различных натуральных чисел, не превосходящих $%n$%. Оказалось, что для каждого из этих чисел его последняя цифра совпадает с последней цифрой суммы всех остальных чисел.

Найдите наименьшее возможное значение $%n$% и докажите, что оно действительно наименьшее.

(в условии данной задачи слово "различных" означает "попарно различных")

задан 1 Апр '18 10:59

изменен 1 Апр '18 11:00

10|600 символов нужно символов осталось
6

Пусть раставлены числа $%x_1,..., x_{111}$%. Тогда на 10 будут делится следующие числа: $$(x_1+...+x_{111})-2x_1; \;(x_1+...+x_{111})-2x_2; \; ...;(x_1+...+x_{111})-2x_{111};$$ Если сложить все последние числа, то получим, что на 10 должно делится число $%109(x_1+...+x_{111})$%. Следовательно, на 10 должны делится числа $%2x_1;...; \: 2x_{111}$%. Поэтому все числа $%x_1;...; \: x_{111}$% должны делится на 5, а также на 10 должна делится сума всех этих чисел. Пример таких чисел $%1 \cdot 5;\:2 \cdot 5;\: ...111 \cdot 5$%. Минимальность очевидна и можно убедится, что сума этих чисел делится на 10. Следовательно, минимальное $%n=555$%.

ссылка

отвечен 1 Апр '18 12:15

@Witold2357, круто! Спасибо большое-пребольшое!

(1 Апр '18 14:38) Казвертеночка

@Witold2357, а такое решение подойдёт?

Все числа дают одинаковые остатки при делении на 5, в этом легко убедиться, задавшись вопросом, на какую цифру оканчивается сумма всех 111 чисел. Кроме того, этим остатком может быть только остаток, так как сумма 110 одинаковых остатков, равная 111-му остатку, будет 0. Ну а пример приводится легко - первые 111 натуральных чисел, кратных 5.

Что упущено?

(1 Апр '18 15:45) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,219
×219
×65
×41
×5

задан
1 Апр '18 10:59

показан
351 раз

обновлен
1 Апр '18 15:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru