Сколько чисел вида $%2^α\cdot3^β$% ($%α\text{ и }β$% - целые неотрицательные) может быть между квадратами (строго) двух последовательных натуральных чисел?

задан 1 Апр '18 14:17

Доказать, что таких чисел между соседними квадратами не более трёх, не сложно. Для этого достаточно заметить, что числа вида $%2^α⋅3^β$% между соседними квадратами могут быть только трёх типов: $%2t^2,3t^2,6t^2$%, причем каждого типа не более одного.

В действительности таких чисел между соседними квадратами не более двух.

(3 Апр '18 13:08) EdwardTurJ
1

@EdwardTurJ: я примерно по этому пути и шёл. Потом проверил, что если брать более общий случай с числами 2, 3, 6 умножить на квадрат, то там очень часто бывает и три значения. Дальше пока не продвинулся.

(3 Апр '18 14:20) falcao

Просмотрел числа вида $%2^α⋅3^β$% до $%10^{16}$%: между соседними квадратами встречаются только такие пары: $%(2,3);(6,8),(18,24);(27,32);(486,512).$% Вожможно, что больше таких пар нет.

Доказательство того, что количество чисел вида $%2^α⋅3^β$% между соседними квадратами не более двух, мне известно.

(4 Апр '18 21:54) EdwardTurJ
1

@EdwardTurJ: да, я тоже заметил, что два числа после какого-то значения перестают встречаться (правда, я смотрел для существенно меньшего диапазона). Подумалось, что это должно быть верно, но я пока не знаю доказательства даже более слабого утверждения, которое дано в условии. Попробую ещё подумать.

(4 Апр '18 22:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Назовём числа вида $%2^α\cdot3^β$% синими.

1) Синие числа между соседними квадратами могут быть только трёх типов: $%2u^2,3u^2,6u^2$%, причем каждого типа не более одного.

Действительно, предположим, что между $%n^2$% и $%(n+1)^2$% найдутся два числа вида $%pu^2$%, где $%p\in\{2;3;6\}$%, то есть $%n^2< pk^2< p(k+1)^2< (n+1)^2$%. Но тогда $%\left(\frac nk\right)^2< p<\left(\frac{n+1}{k+1}\right)^2\Rightarrow n< k$%. Противоречие.

2) Если между $%n^2$% и $%(n+1)^2$% найдётся три синих числа, то на промежутке $%[n^2,(n+1)^2]$% найдётся четыре синих числа.

Пускай $%2^a3^x,2^b3^y,2^c3^z$% - три синих числа на интервале $%\left(n^2,(n+1)^2\right)$%. Для $%n\ge3$% (случаи малых значений $%n$% тривиальны) имеем место неравенство $%(n+1)^2<2n^2$%, поэтому числа $%a,b,c$% попарно различны. Также попарно различны числа $%x,y,z$%. Не ограничивая общности, предположим, что $%a< b$%. Тогда $%a< b< c$% и $%x>y>z$%. Из первого утверждения следует, что в каждой из троек $%a,b,c$% и $%x,y,z$% ровно два нечётных числа и одно чётное. Следовательно число $%\frac{2^a3^x2^c3^z}{2^b3^y}=2^{a-b+c}3^{x-y+z}$% является квадратом целого числа. Для этого числа имеем неравенства $%(n-1)^2<\frac{(n^2)^2}{(n+1)^2}<2^{a-b+c}3^{x-y+z}<\frac{((n+1)^2-1)^2}{n^2}<(n+2)^2$%. Таким образом, четвёртое синее число находится на одном из концов промежутка $%[n^2,(n+1)^2]$%. Не ограничивая общности, будем считать, что для четырёх синих чисел $%2^a3^x,2^b3^y,2^c3^z,2^d3^t$% выполняются неравенства $%a< b< c< d$% и $%x>y>z>t$%.

3) Если на промежутке $%[n^2,(n+1)^2]$% найдётся четыре синих числа, то $%n\le8$%.

Перемножив неравенства $$2^a3^y=(2^a3^x,2^b3^y)\le|2^a3^x-2^b3^y|\le2n,$$ $$2^b3^z=(2^b3^y,2^c3^z)\le|2^b3^y-2^c3^z|\le2n,$$ $$2^c3^t=(2^c3^z,2^d3^t)\le|2^c3^z-2^d3^t|\le2n,$$ получим $$(n^2)^2\le2^b3^y2^c3^z<2^a3^y2^b3^z2^c3^t\le(2n)^3,$$ $$n\le8.$$ 4) Перебором проверяем, что при $%n\le8$% на каждом интервале синих чисел не более двух.

ссылка

отвечен 8 Апр '18 9:54

изменен 9 Апр '18 15:42

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×879

задан
1 Апр '18 14:17

показан
5898 раз

обновлен
9 Апр '18 15:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru