Как можно задать непрерывное биективное отображения единичного замкнутого круга на его дополнение?

задан 1 Апр 14:50

изменен 1 Апр 17:19

@Williams Wol...: оба множества имеют мощность континуум. Поэтому между ними можно установить биекцию. В таком виде (без ограничения на свойства отображения) вопрос звучит нелепо.

Если нужно отображение более "естественное", то рассматриваем инверсию относительно окружности. Центр при этом отображаем куда угодно. (Это хотя и не биекция, но это отображение на, как в тексте вопроса.)

(1 Апр 15:41) falcao

@falcao, имелось в виду конечно же биекция.

(1 Апр 15:44) Williams Wol...

@falcao, В след. раз буду все прописывать в вопросе. А почему не биекция, какие точки будут в одну?

(1 Апр 15:46) Williams Wol...
1

Любые континуальные множества биективны друг с другом или нет?

  1. Строим биекцию между множеством [-1,0)U(0,1] и (-infty,-1)U(1,infty)

  2. Строим биекцию между множеством [-1,1] и (-infty,-1)U(1,infty)

  3. Каждой точке круга x,y не лежащей на прямой y=0 ставим в соответствие точку плоскости X,Y лежащую на одной прямой с центром круга и точкой x,y и соответствующей точке x,y по биекции первого шага на той самой прямой.

(1 Апр 16:39) abc

@abc, а у меня такое решение через полярную систему координат: У нас ведь точки (r, phi), r <=1, тогда мы просто сопоставляем каждой точке (1/r, phi) это же будет биекцией? Разве что нужно решить что-то с границей и центром, но это вроде просто сделать.

(1 Апр 16:44) Williams Wol...

Да типа того наверное. Сделайте раз просто. Оформите все на пятерку

(1 Апр 17:01) abc

@Williams Wol...: если отображение строится по принципу r -> 1/r (на том же луче), то некуда девать 0. Ясно, что его можно отобразить далее куда угодно, но тогда нарушится биективность, непрерывность, и многое другое. Надо иметь в виду, что если непрерывности мы не требуем, то задача становится тривиальной, так как множества имеют одну и ту же мощность. А если есть дополнительные ограничения, то надо их явно указать.

(1 Апр 17:15) falcao

@falcao, я думаю, что это подразумевалось, но т.к. в самом условии этого не было, то и я не подумал об этом написать.

(1 Апр 17:20) Williams Wol...

@Williams Wol...: желательно помещать более продуманные вопросы, или пояснять, что Вам нужно на самом деле. Это может быть какое-то строгое доказательство наглядно-очевидного факта, или попытка найти "необычное" отображение для случая, когда "обычное" не ведёт к успеху.

Здесь компактное пространство отображается в хаусдорфово. Согласно известной теореме общей топологии, непрерывное отображение такого рода будет гомеоморфизмом. Однако замкнутый круг компактен, а его дополнение не компактно. Даже если взять дополнение с границей, оно компактно не будет, то есть кругу оно не гомеоморфно.

(1 Апр 17:35) falcao

@Williams Wol...: я думаю, что задач с "бракованными" условиями вообще не надо решать. Вряд ли кто-то имел в виду "кустарное" доказательство того, что один континуум равномощен другому континууму.

(1 Апр 17:59) falcao
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,019
×187
×68

задан
1 Апр 14:50

показан
121 раз

обновлен
1 Апр 17:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru