Помогите решить задачу, буду очень благодарен (жалательно полный ход решения). Спасибо!

Центр круга радиусом R находится в точке (0,0). Центр квадрата со стороной 2h совпадает с точкой (0,0), а стороны его параллельны координатным осям.Найти вероятность того, что точка, наугад брошенная в круг, попадет также и в квадрат

задан 2 Апр '13 21:47

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь надо рассмотреть несколько случаев взаимного расположения фигур. Два случая очень простые, а в одном надо сделать кое-какие подсчёты.

Если $%R\le h$%, то круг содержится в квадрате, и любая точка круга с вероятностью $%1$% окажется в квадрате.

Теперь пусть всё наоборот: квадрат содержится в круге. Это равносильно тому, что круг содержит описанный около квадрата круг (так как центры совпадают). Радиус описанного круга в $%\sqrt{2}$% раз больше стороны, то есть это случай $%R\ge h\sqrt{2}$%. Здесь надо поделить площадь квадрата на площадь круга -- получится $%4h^2/\pi R^2$%.

Наконец, промежуточный случай: $%h < R < h\sqrt{2}$%. Здесь надо найти площадь общей части круга и квадрата. Точек пересечения границы квадрата с окружностью будет $%8$% (по две на каждой из сторон). Если центр соединить со всем точками пересечения, то интересующая нас фигура разобьётся на $%8$% частей: $%4$% треугольника и $%4$% круговых сектора. Треугольники будут равнобедренные с основанием $%h$% и боковыми сторонами $%R$%. Их площадь легко находится: она равна $%h\sqrt{R^2-h^2}$% (проверьте).

Теперь рассмотрим секторы. Чтобы найти площадь каждого из них, надо знать угол при вершине сектора. Это легко узнать, если найти сначала угол при вершине равнобедренного треугольника: он составляет $%2\arccos(h/R)$%. Отсюда ясно, что на каждый сектор приходится угол $%\pi/2-2\arccos(h/R)$%. А площадь сектора с углом $%\varphi$% при вершине равна $%\varphi R^2/2$%. Это позволяет найти площадь каждого из наших секторов. Далее складываем площади треугольника и сектора, умножая на $%4$%. Получается $%(\pi-4\arccos(h/r))R^2+4h\sqrt{R^2-h^2}$%. Для нахождения вероятности надо эту величину поделить на $%\pi R^2$%.

ссылка

отвечен 2 Апр '13 23:25

10|600 символов нужно символов осталось
1

Вероятность пропорциональна площади фигуры. Подсчитайте площадь общей части круга и квадрата и поделите на площадь круга.

Ответ сильно зависит от того, как соотносятся две фигуры по размеру.

ссылка

отвечен 2 Апр '13 22:34

БОЛЬШОЕ СПАСИБО всем за помощ !

(4 Апр '13 20:51) kolyan_23

Спасибо к рейтингу не прибавишь! Лучше примите какой-нибудь ответ. И будет Вам счастье (+2 балла)

(5 Апр '13 0:12) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

alt text

Искомая вероятность: $$P=\begin{cases}\frac{4h^2}{\pi R^2};0 < h\le \frac{R}{\sqrt{2}},\\ \frac{\pi R^2-8(\frac{1}{2}R^2arctg\frac{\sqrt{R^2-h^2}}{h}-\frac{1}{2}h\sqrt{R^2-h^2})}{\pi R^2};\frac{R}{\sqrt{2}} < h < R,\\ 1; h\ge R.\end{cases}$$

ссылка

отвечен 3 Апр '13 16:03

Можете объяснить почему результат промежуточного случая разный у 2 и 3 ответов на задачу?

(4 Апр '13 21:17) kolyan_23

Результат один, запись разная.

(5 Апр '13 0:13) DocentI
1

@kolyan_23: дело в том, что один и тот же угол можно выразить и через арксинус, и через арккосинус, и через арктангенс. Рассмотрим пример прямоугольного треугольника со сторонами $%3$%, $%4$% и $%5$%. Допустим, нас интересует угол, лежащий напротив катета длиной $%3$%. Легко видеть, что косинус этого угла равен $%4/5$%, синус равен $%3/5$%, а тангенс равен $%3/4$%. Поскольку угол острый, то он будет равен $%\arccos(4/5)=\arcsin(3/5)=\arctan(3/4)$%. Желательно при этом выбирать то, что имеет более простой вид.

(5 Апр '13 2:30) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,994

задан
2 Апр '13 21:47

показан
1967 раз

обновлен
5 Апр '13 2:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru