Все натуральные делители числа $%n$% удалось разбить на пары так, что сумма делителей в каждой паре - простое число. Докажите, что все эти простые числа различны.

задан 2 Апр '18 1:21

изменен 2 Апр '18 10:41

Expert's gravatar image


10315

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если $%n$% делится на квадрат некоторого простого $%p$%, то больше половины делителей числа $%n$% делятся на $%p$%. В самом деле, если $%d_1 < \cdots < d_k$% есть полный список делителей $%n$%, не кратных $%p$%, то к ним добавятся числа $%pd_1 < \cdots < pd_k$%, $%p^2d_1 < \cdots < p^2d_k$%, ... , и при разбиении на пары какие-то два числа, делящиеся на $%p$% окажутся вместе, вопреки условию. Поэтому $%n=p_1\ldots p_r$% есть произведение попарно различных простых чисел. Можно также заметить, что $%n$% чётно.

Если какой-то делитель $%d$% делится на $%p_i$%, то он находится в паре с другим делителем, не делящимся на $%p_i$%, и наоборот ($%1\le i\le r$%). Понятно, что для любого $%d|n$%, парное ему число делится на все простые кроме простых делителей $%d$%, и не делится ни на какое другое простое, делящее $%d$%. Это однозначно определяет парное числом, которое является произведением всех простых чисел, не делящих $%d$%,то есть это $%\frac{n}d$% -- "дополнительный" делитель.

Теперь понятно, что произведения чисел в каждой паре одинаковые, а тогда суммы разные (как следствие теоремы Виета).

Интересно, много ли таких чисел? Компьютер в пределах первой тысячи выдал следующее:

[2, 6, 10, 22, 30, 42, 58, 70, 78, 82, 102, 130, 190, 210, 310, 330, 358, 382, 442, 462, 478, 562, 658, 742, 838, 862, 970]

Правдоподобно предположение, что их бесконечно много, но доказать это, скорее всего, очень трудно.

P.S. Проверил на oeis -- оказывается, оно там имеется!

ссылка

отвечен 2 Апр '18 2:18

@falcao, большое спасибо!

(2 Апр '18 10:06) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,167
×148
×108
×32

задан
2 Апр '18 1:21

показан
305 раз

обновлен
2 Апр '18 10:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru