Множество матриц $%X$% размера 2x2 таких, что $$ X^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}. $$

Если это множество является линейным подпространством множества всех матриц размера 2x2, то определить его размерность и базис.

Пытался решать в лоб, положив $$ X = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} $$ и получив систему уравнений $%a^2+bc=0 \wedge b(a+d)=0 \wedge c(a+d)=0 \wedge d^2+bc=0$%. Есть ли другие подходы к решению?

задан 2 Апр '18 19:45

изменен 2 Апр '18 20:34

10|600 символов нужно символов осталось
1

В задачах этого типа ответ чаще всего бывает положительным. Для проверки применяют известный критерий (замкнутость относительно сложения и относительно произведения на скаляр). Здесь понятно, что X^2=0 влечёт (kX)^2=0. Но из X^2=Y^2=0 следует только то, что (X+Y)^2=X^2+Y^2+XY+YX=XY+YX, и нет оснований полагать, что для матриц из условия будет верно тождество XY+YX=0. Поэтому надо попытаться построить контрпример. Для этого надо сначала чуть прояснить описание, а потом выбрать две матрицы почти наугад.

У нас есть система уравнений. Допустим, что a+d не равно нулю. Тогда b=c=0. Это значит, что матрица диагональна, и a^2=d^2=0, то есть a=d=0. Матрица нулевая, причём a+d=0 в этом случае. Таким образом, d=-a всегда: это значит, что у матрицы нулевой след.

Теперь два уравнения исчезают, а остальные два превращаются в одно: a^2+bc=0, то есть ad-bc=0. Значит, определитель тоже нулевой, что ясно и из общих соображений. Это необходимое и достаточное условие на X, то есть tr X=0, det X=0 <=> X^2=0.

Загадываем числа на главной диагонали: пусть это 2 и -2. Два других числа пусть будут 1 и -4. Получается X=(2 1 // -4 -2). Теперь строим Y. Загадываем -3 и 3 на главной диагонали. Два других числа пусть будут равны 1 и -9. Это даёт Y=(-3 1 // -9 3). Находим сумму: X+Y=(-1 2 // -13 1). След у неё нулевой, а определитель равен 25. Этого примера достаточно для отрицательного ответа на вопрос.

В случае, когда ответ положителен, бывает полезно сразу увидеть, линейной оболочкой какой системы будет рассматриваемое множество. Тогда не надо отдельно проверять, что мы имеем подпространство. При этом сразу получается и базис.

Для примера: рассмотрим матрицы 2x2, у которых сумма матричных элементов равна нулю. Если (a b // c d) -- такая матрица, то a, b, c любые, d=-a-b-c. Записываем общий вид, и раскладываем по свободным переменным: (a b // c -a-b-c)=a(1 0 // 0 -1)+b(0 1 // 0 -1)+c(0 0 // 1 -1). Сразу видим и базис, и размерность.

ссылка

отвечен 2 Апр '18 20:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,337
×418
×159

задан
2 Апр '18 19:45

показан
1440 раз

обновлен
2 Апр '18 20:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru