0
1

Докажите, что m ◦ n = 2mn − 2m − 2n + 3 задаёт бинарную операцию R \ {1} и что (R \ {1}, ◦) является группой.

задан 2 Апр '18 21:18

10|600 символов нужно символов осталось
0

Один из способов решения состоит в проверке аксиом группы. Возможно, что полезно было бы решить задачу и таким длинным способом. Для начала надо проверить ассоциативность. Берём числа x, y, z. Находим xoy по формуле. Потом подставляем в ту же формулу найденное выражение в качестве m, и z в качестве n. Получается какое-то громоздкое выражение от трёх переменных. Это (xoy)oz. Потом таким же способом находим xo(yoz). Сравниваем два выражения, и проверяем, что они совпадают.

Потом доказываем существование нейтрального элемента. Здесь это будет число e=3/2. Можно взять любое m, полагая n=3/2, и далее проверить, что mon=m. Операция здесь коммутативна, и такой проверки достаточно. Само значение нейтрального элемента можно или угадать, или найти из уравнения 2mn-2m-2n+3=m, которое должно выполняться при любом m. В частности, при m=0, что сразу даёт n=3/2. А потом уже подставляем и проверяем.

Наконец, надо проверить наличие обратных элементов. Пусть m не равно 1. Мы хотим найти такое n (также не равное 1), чтобы выполнялось равенство 2mn-2m-2n+3=3/2. Решая уравнение относительно n, имеем n=(4m-3)/(4m-4). Такое число определено при любом m кроме 1, и не равно 1.

Но есть более короткий способ доказательства, основанный вот на каком факте. Пусть имеется какая-то известная нам группа G, операция в которой обозначается в виде умножения. Рассмотрим произвольную биекцию f множества G на произвольное множество X. Зададим операцию o на X, полагая f(a)of(b)=f(ab). Здесь мы используем то, что всякий элемент из X единственным образом представим в виде f(g), где g принадлежит G. Это так, поскольку мы имеем биекцию. В итоге мы имеем "точную копию" группы G в виде системы (X,o). Последняя, как алгебраическая система, изоморфна группе, а потому сама является группой.

Теперь осталось заметить, что 2(mon)-2=(2m-2)(2n-2) в силу тождества из условия. Это значит, что если мы в качестве G возьмём группу действительных чисел без нуля относительно умножения, и положим x=f(y)=1+y/2 (это обратная функция для y=2x-2), что даёт биекцию. При ней получится 1+0/2=1, то есть 1 удаляем, а 1+1/2=3/2 оказывается нейтральным элементом. Далее, для элемента y не равного нулю, в группе обратным будет 1/y, и для него f(1/y)=1+1/(2y)=(2y+1)/(2y)=(4x-3)/(4x-4), что даёт формулу для обратного элемента.

ссылка

отвечен 2 Апр '18 22:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,516
×1,859

задан
2 Апр '18 21:18

показан
876 раз

обновлен
2 Апр '18 22:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru