Докажите, что для любого натурального числа $%n$%, числа $%n$% и $%n^2+6n+12$% не могут быть одновременно кубами двух натуральных чисел.

задан 3 Апр 2:19

10|600 символов нужно символов осталось
3

Пусть n=k^3. Тогда второе число равно k^6+6k^3+12. Оно больше, чем (k^2)^3, поэтому, если является кубом, то не меньше (k^2+1)^3=k^6+3k^4+3k^2+1. Отсюда k^4+k^2 < 2k^3+4, то есть (k-2)(k^3+k+2) < 0. Такое возможно лишь при k=1, то число 19 точным кубом не является.

Какая-то задача с похожей идеей была, но ссылку не помню.

ссылка

отвечен 3 Апр 2:32

@falcao, большое спасибо!

(3 Апр 9:59) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
5

Если они кубы то их произведение $%n^3+6n^2+12n$% тоже куб. Но $%n^3<n^3+6n^2+12n<(n+2)^3,$% поэтому остаётся только $%n^3+6n^2+12n=(n+1)^3$% откуда квадратное уравнение $%3n^2+9n-1=0,$% у которого нет целых корней.

ссылка

отвечен 3 Апр 5:02

изменен 3 Апр 5:03

@bot, и Вам большое спасибо!

(3 Апр 10:00) Казвертеночка
1

@bot: если не ошибаюсь, именно Вы давали где-то решение похожей задачи. Но я не помню ссылку.

Числа 6 и 12 наводили на мысли о полном кубе, и, наверное, этот путь и имелся в виду. Но я как-то не догадался до идеи перемножения, и решал по-другому.

(3 Апр 11:27) falcao
1

@falcao очень может быть, но я не помню. Во всяком случае где-то когда-то перемножал, да.

(4 Апр 9:45) bot
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,026
×792
×228
×165
×143

задан
3 Апр 2:19

показан
174 раза

обновлен
4 Апр 9:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru