|
Докажите, что для любого натурального числа $%n$%, числа $%n$% и $%n^2+6n+12$% не могут быть одновременно кубами двух натуральных чисел. задан 3 Апр '18 2:19 
Казвертеночка |
|
Пусть n=k^3. Тогда второе число равно k^6+6k^3+12. Оно больше, чем (k^2)^3, поэтому, если является кубом, то не меньше (k^2+1)^3=k^6+3k^4+3k^2+1. Отсюда k^4+k^2 < 2k^3+4, то есть (k-2)(k^3+k+2) < 0. Такое возможно лишь при k=1, то число 19 точным кубом не является. Какая-то задача с похожей идеей была, но ссылку не помню. отвечен 3 Апр '18 2:32 
falcao @falcao, большое спасибо!
(3 Апр '18 9:59)
Казвертеночка
|
|
Если они кубы то их произведение $%n^3+6n^2+12n$% тоже куб. Но $%n^3<n^3+6n^2+12n<(n+2)^3,$% поэтому остаётся только $%n^3+6n^2+12n=(n+1)^3$% откуда квадратное уравнение $%3n^2+9n-1=0,$% у которого нет целых корней. отвечен 3 Апр '18 5:02 
bot @bot, и Вам большое спасибо!
(3 Апр '18 10:00)
Казвертеночка
1
@bot: если не ошибаюсь, именно Вы давали где-то решение похожей задачи. Но я не помню ссылку. Числа 6 и 12 наводили на мысли о полном кубе, и, наверное, этот путь и имелся в виду. Но я как-то не догадался до идеи перемножения, и решал по-другому.
(3 Апр '18 11:27)
falcao
|