Добрый день! Прошу помочь со следующим заданием.

Необходимо вычислить криволинейный интеграл $%\int_Г x^3 ds$% по какой-нибудь гиперболе, соединяющей точки $%(1;3)$% и $%(3;1)$%.

Записываю уравнение гиперболы $%y=\frac{3}{x}$%, поэтому $%\int_Г x^3 ds=\int_1^3 x^3 \sqrt{1+\frac{9}{x^4}}dx=\frac{1}{4}\int_1^3 \sqrt{1+\frac{9}{x^4}}dx^4=\frac{1}{4}\int_1^{81} \sqrt{1+\frac{9}{t}}dt$%.

Все ли на данный момент сделал верно? Как дальше считать такой интеграл?

задан 3 Апр '18 18:34

изменен 3 Апр '18 18:34

1

Обозначьте квадратный корень через y, выразите t, найдите dt. Получится интеграл от рациональной функции. Первообразная там довольно громоздкая, но она находится по обычным правилам.

(3 Апр '18 18:42) falcao

@falcao, сделал, но ответ получился достаточно компактный, нет ли какого более короткого способа?

(3 Апр '18 18:50) FedorTokarev
1

Если ещё память осталась ( в больнице), то интеграл можно посчитать так. В самом начале приводите подколенное уравнение к общему знаменателю, знаменатель выносите из под корня. Получается интеграл с теми же пока пределами : ин-т. x*sqrt(9+x^4), после внесения икса под знак дифференциала и замены t=x^2 получается интеграл :ин-т (1/2)sqrt(9+t^2) c пределами 1 и 9

(3 Апр '18 19:36) epimkin
1

Этот интеграл считается в некоторых учебниках табличным, да и выводится легко, разными способами. Программы дали одинаковый ответ к исходному и последнему

(3 Апр '18 19:38) epimkin
1

@FedorTokarev: по-моему, там ответ имеет вид типа что-то на корень из 10, плюс коэффициент, умножить на ln выражения с корнем из 10. Вряд ли есть способ получить такое дело принципиально проще. Хотя сам неопределённый интеграл можно находить по-разному, и какие-то способы там могут быть технически проще других. Если бы ответ был равен целому (или хотя бы рациональному) числу, тогда можно было бы ставить вопрос о принципиально другом способе.

(4 Апр '18 2:37) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,265

задан
3 Апр '18 18:34

показан
225 раз

обновлен
4 Апр '18 2:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru