Тут недавно возник вопрос на практике, мы отображали $% R^3 $% в $% R^{\infty} $%, где элементами $%R^{\infty} $% рассматриваются последовательности, так вот вопрос, можно ли каким-то явным образом задать сюръективное отображение? биективное?

задан 4 Апр 1:57

10|600 символов нужно символов осталось
1

Поскольку рассматриваются произвольные отображения, всё зависит только от мощности. Поэтому любое множество здесь можно заменить на равномощное ему. В частности, вместо R^3 проще брать R, так как по мощности это то же самое.

Пусть A, B -- произвольные множества. Инъекция из A и B существует тогда и только тогда, когда мощность A не больше мощности B (это определение). Когда существует сюръекция? Здесь всё наоборот: мощность B не больше мощности A (с оговоркой, что B непусто).

Действительно, если сюръекция A на B имеется, то каждому b из B сопоставляем какой-то из прообразов. Это даёт инъекцию, то есть B не больше A по мощности. Обратно: если это так, то строим инъекцию g из B в A. Теперь для элементов из g(B) можно рассмотреть обратное отображение, а для остальных значение функции f:A->B задать произвольно (для этого и нужна непустота B). Получается сюръекция f множества A на B.

Сравним мощности множеств: R имеет мощность континуум, а R^N, как уже много раз говорилось, есть (2^N)^N ~ 2^{N x N} ~ 2^N, то есть тоже континуум. Значит, там есть и сюръекции, и биекции.

Что касается явного примера, то построить его можно, но там будет необходимо небольшое "причёсывание". Проще всего работать не с R, а с множеством бесконечных двоичных последовательностей. Обозначим это множество через X, а его элементы будем назвать "числами" в кавычках. Это почти то же самое, так как биекция между R и интервалом строится при помощи функций типа арктангенса, а числа из (0;1) задаются в двоичном виде. "Зазор" там возникает только за счёт "чисел" с единицей в периоде, но это множество счётно, и на мощность оно не влияет. Поэтому R ~ X, и такую биекцию можно считать известной.

Для X очень просто доказать, что X^2 ~ X, так как две последовательности можно "перемешать", чередуя их члены. Аналогично, X^3 ~ X. Что касается X^N, то здесь имеется счётная последовательность "чисел". Их можно записать в строки бесконечной матрицы со счётным числом строк и столбцов. Далее элементы таблицы нумеруем известным способом по диагоналям, и выписываем нули и единицы в таком порядке. Получается одно "число", по которому однозначно восстанавливается таблица, которая есть элемент из X^N. Это биекция на X.

ссылка

отвечен 4 Апр 2:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,127

задан
4 Апр 1:57

показан
98 раз

обновлен
4 Апр 2:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru