самообразование - Наименьшая возможная разность прогрессии

Будем коротко называть эти числа "представимыми". Поскольку квадрат при делении на 4 даёт в остатке 0 или 1, числа вида 4k+3 не представимы. Если a^2+b^2 делится на 3, то числа a,b оба делятся на 3, и сумма квадратов делится на 9. Далее, если 2k=a^2+b^2, то числа a,b одной чётности, и k=((a+b)/2)^2+((a-b)/2)^2. То есть 2k представимо <=> k представимо.

Пусть d -- разность прогрессии из представимых чисел. Если d=1, то чисел не больше трёх, так как в противном случае там есть представители всех остатков от деления на 4. Пример с тремя: 8, 9, 10. Если d=2, то при нечётном первом члене не может быть даже длины 2, а при чётном можно всё разделить на 2. Пример здесь 16, 18, 20. Длина не больше 3. Если d=3 (и вообще если d нечётно), то 4 числа быть не может по указанной выше причине. Пример с тремя числами: 10, 13, 16.

При d=4 есть пример с пятью числами: 37, 41, 45, 49, 53. Примера с 6 числами уже нет, так как в каждой тройке будет число, кратное трём, и оно не кратно 9.

Если чисел в прогрессии 6, то d должно делиться на 3 по рассмотренной только что причине. Оно также чётно, и минимальное d должно делиться на 4. В противном случае либо из двух чисел есть 4k+3, либо всё чётно, и можно всё разделить на 2. Значит, d>=12. Пример из 6 (и даже 11) чисел для d=12: 1, 13, 25, 37, 49, 61, 73, 85, 97, 109, 121.