а) 5 целых чисел, каждое из которых представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел, образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью. Какова наименьшая возможная разность этой прогрессии?

б) Тот же вопрос для 6 целых чисел.

задан 4 Апр '18 10:23

изменен 4 Апр '18 10:29

10|600 символов нужно символов осталось
3

Будем коротко называть эти числа "представимыми". Поскольку квадрат при делении на 4 даёт в остатке 0 или 1, числа вида 4k+3 не представимы. Если a^2+b^2 делится на 3, то числа a,b оба делятся на 3, и сумма квадратов делится на 9. Далее, если 2k=a^2+b^2, то числа a,b одной чётности, и k=((a+b)/2)^2+((a-b)/2)^2. То есть 2k представимо <=> k представимо.

Пусть d -- разность прогрессии из представимых чисел. Если d=1, то чисел не больше трёх, так как в противном случае там есть представители всех остатков от деления на 4. Пример с тремя: 8, 9, 10. Если d=2, то при нечётном первом члене не может быть даже длины 2, а при чётном можно всё разделить на 2. Пример здесь 16, 18, 20. Длина не больше 3. Если d=3 (и вообще если d нечётно), то 4 числа быть не может по указанной выше причине. Пример с тремя числами: 10, 13, 16.

При d=4 есть пример с пятью числами: 37, 41, 45, 49, 53. Примера с 6 числами уже нет, так как в каждой тройке будет число, кратное трём, и оно не кратно 9.

Если чисел в прогрессии 6, то d должно делиться на 3 по рассмотренной только что причине. Оно также чётно, и минимальное d должно делиться на 4. В противном случае либо из двух чисел есть 4k+3, либо всё чётно, и можно всё разделить на 2. Значит, d>=12. Пример из 6 (и даже 11) чисел для d=12: 1, 13, 25, 37, 49, 61, 73, 85, 97, 109, 121.

ссылка

отвечен 4 Апр '18 15:37

@falcao, большое спасибо!

(4 Апр '18 23:25) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,214
×219
×158
×89
×65

задан
4 Апр '18 10:23

показан
210 раз

обновлен
4 Апр '18 23:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru