Почему верен подчеркнутый фрагмент, и что происходит справа от треугольника? Казалось бы, посчитав $%T(w_0),\dots,T(w_{n-2})$%, остается посчитать $%T(w_{n-1})$%, но вместо этого считают $%f(T)(w_0)$%, да и еще почему-то приравнивают к нулю.

alt text

задан 5 Апр '18 1:14

10|600 символов нужно символов осталось
1

По-моему, тут всё более чем прозрачно по смыслу -- другое дело, что язык абстрактных понятий делает всё, чтобы запутать самые простые вещи :)

Тот модуль, который здесь рассматривается, как векторное пространство устроен просто и понятно: это факторкольцо (точнее, факторалгебра) по главному идеалу. Поэтому ясно, что элементы 1,t,t^2,...,t^{n-1} порождают эту алгебру как векторное пространство, так как f(t)=0 в алгебре, и t^n выражается, а вместе с ним и более высокие степени. Также мы знаем, что в факторкольце по главному идеалу равны нулю те и только те многочлены, которые делятся на f(t), откуда сразу вытекает линейная зависимость и базисность.

Оператор f(T) нулевой по построению, и подействовать им, зная это, есть как раз быстрый способ найти T(w_{n-1}). Можно, конечно, было бы это сделать и наоборот, то есть написать, что будет T^{n}w0, но далее этот элемент выражается через остальные ввиду того, что T^n+...=0 влечёт T^n=-... (перенос в правую часть с противоположным знаком).

ссылка

отвечен 5 Апр '18 3:36

Насчет конструкции с 1,t,...,t^{n-1}. Верно ли такое изложение общей теории? Пусть R - кольцо, f - приведенный многочлен из R[x] степени n. Рассмотрим факторотображение R[x]->>R[x]/(f). Введем структуру модуля над R[x] на образе по правилу f_1*(f_2+(f))=(f_1+(f))x(f_2+(f)) где f_1+(f) - образ f_1, x - произведение в факторкольце. В частности, это дает структуру модуля над R. Тогда (1,t,...,t^{n-1}) - R-базис для R[x]/(f) как R-модуля.

(5 Апр '18 4:13) Slater

@Slater: по сути здесь всё верно, только много лишнего формализма. Есть готовое понятие фактормодуля, на него и надо опираться. Поэтому "начинку" в виде явного правила действия R[x] на образе напоминать не надо. Эти "зверушки" должны восприниматься как знакомые нам "живые существа", и не надо их лишний раз "анатомировать" :)

Это точно так же, как если есть понятный алгоритм, описанный словами, то он не делается яснее от того, что бы его запишем в машинных кодах.

(5 Апр '18 4:39) falcao

Ну я использовал этот "формализм" для доказательства, что (w_0,tw_0,...) - базис. (Содержание фразы "откуда сразу вытекает линейная зависимость и базисность" для меня очевидным не было, и доказательство получилось не на 2 строчки.)

Обновление: а может и очевидно это, поскольку изоморфизм также можно рассматривать как изоморфизм векторных пространств, и тогда образ базиса (1,t,...,t^{n-1}) - указанный базис т.к. 1 переходит в w_0.

(5 Апр '18 7:12) Slater

@Slater: там всё становится очевидным после замечания о том, что модуль (абстрактная вещь, которая априори может быть какой угодно) изоморфен алгебре F[t]/(f(t)). А это конкретная простая конструкция, про которую мы всё знаем: там любой элемент единственным образом представляется в виде линейной комбинации 1,t,...,t^{n-1}. Это прямое следствие того, что элементы факторкольца можно отождествить с остатками от деления на многочлен n-й степени.

(5 Апр '18 13:53) falcao

А почему оператор $%f(T)$% нулевой? Элемент $%\overline {f(t)}\in F[t]/(f)$% нулевой - это да. Но по определению $%f(T)w=f(t)w$%, а не $%f(T)w=\overline {f(t)}w$%. Правая часть первого равенства не нулевая, а второго - нулевая. Но второе равенство - не определение $%f(T)w$%.

(6 Апр '18 20:03) Slater

@Slater: Вы снова что-то начинаете "анатомировать" :) По-моему, здесь всё проще. В чём вообще цель данного фрагмента? Я так понимаю, в описании того, как устроены циклические модули над кольцом R=F[t]. Пусть w=w0 -- порождающий. Рассматриваем множество {r | rw=0}. Это левый идеал кольца. В данном случае -- двусторонний, так как кольцо коммутативно. В F[t] все идеалы главные. Пусть f(t) порождающий этого идеала. Тогда f(t)w=0 по построению. Если f=0, то модуль свободен, и с ним всё ясно. В противном случае пусть deg f=n. Запишем многочлен по степеням, и далее по тексту.

(6 Апр '18 22:56) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
5 Апр '18 1:14

показан
295 раз

обновлен
6 Апр '18 22:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru