|
Найти уравнение кривой, проходящей через точку A(2, 0) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ОУ любой касательной, равен удвоенной абсциссе точки касания. задан 3 Апр '13 19:04 
НАТАЛИЯ |
|
Пусть $%y=y(x)$% -- график кривой. Касательная к графику в точке $%(x,y)$% имеет угловой коэффициент $%y'$%. С другой стороны, она проходит через две точки: $%(x,y)$% и $%(0,2x)$%. Следовательно, её угловой коэффициент равен $%(y-2x)/x$%. Отсюда имеем дифференциальное уравнение $$y'=\frac{y-2x}x.$$ Посредством замены $%z=y/x$% оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными, и далее получается $%y=-2x\ln x+Cx$%. Константа находится из условия $%y(2)=0$%, откуда $%y=-2x\ln(x/2)$%. отвечен 3 Апр '13 19:30 
falcao |