|
Катер движется в спокойной воде со скоростью км/час. На полном ходу его мотор был выключен, и, через 2 мин, скорость катера уменьшилась до км/час. Найти скорость, с которой двигался катер через 40 секунд после выключения мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения катера. задан 3 Апр '13 19:06 
НАТАЛИЯ |
|
Рассмотрим задачу в общем виде. Пусть $%v_1$% -- скорость катера до выключения мотора, $%v_2$% -- скорость после выключения мотора. Примем массу катера за единицу. Тогда на него будет действовать сила $%F=ma=a=v'$%. Она равна силе сопротивления воды, действующей против направления движения, откуда $%v'=-kv$%, где $%k$% -- коэффициент пропорциональности. Это значит, что $%v(t)=Ce^{-kt}$%. По условию, $%C=v(0)=v_1$%. Далее, в момент времени $%t=1/30$% часа, скорость составила $%v_2$%. Это значит, что $%v_2=v_1e^{-k/30}$%. Через $%40$% секунд, то есть через $%1/90$% часа, скорость будет равна $%v(1/90)=v_1e^{-k/90}=v_1(v_2/v_1)^{1/3}=(v_1^{2}v_2)^{1/3}$%. Остаётся подставить значения скоростей из условия. отвечен 3 Апр '13 19:54 
falcao |
|
Пусть $%v_0-$% начальная скорость, $%t_0=0$% с, $%v_{120}-$%скорость в момент времени $%t=120$% с. Для составления дифференциального уравнения, воспользуемся вторым законом Ньютона. $%F=ma $% $%(1),$% но $%F=-k\cdot v, k>0$% $%(2)$% (направления вектора скорости и вектора силы - противоположны). Из $%(1)$% и $%(2)$% имеем $%a=-\frac{k}{m}v$% или $%v^{'}=-\beta v,$% где $%\beta=-\frac{k}{m}.$% Интегрируя полученное уравнение, будем иметь $%ln(v)=-\beta t+C$%. Значение $%\beta$% и $%C$% определим, используя начальные условия. $$ln(v_0)=-\beta0+C\Rightarrow C=ln(v_0);ln(v)=-\beta t+ln(v_0);ln(v_{120})=-\beta\cdot120+ln(v_0)$$$$\Rightarrow -\beta=\frac{ln(\frac{v_{120}}{v_0})}{120}.$$ Значит $$ln(v)=\frac{ln(\frac{v_{120}}{v_0})}{120}\cdot t+ln(v_0)\Rightarrow v(t)=v_0\cdot \Big(\frac{v_{120}}{v_0}\Big )^{\frac{t}{120}}\Rightarrow v(40)=v_0\cdot \Big(\frac{v_{120}}{v_0}\Big )^{\frac{40}{120}}.$$ отвечен 3 Апр '13 20:27 
Anatoliy |
Пропущена скорость движения катера до и после выключения мотора.