Доказать, что точка, симметричная фокусу параболы относительно касательной к этой параболе, лежит на директрисе.

задан 7 Апр '18 23:36

10|600 символов нужно символов осталось
1

Берёте геометрическое определение параболы - $%FM = MH$%, где $%F$% - фокус, $%M$% - точка параболы, $%H$% - основание перпендикуляра на директрису... Получается равнобедренный треугольник... остаётся вспомнить про оптическое свойство параболы, из которого следует, что касательная в этом треугольнике будет биссектрисой...

alt text

ссылка

отвечен 7 Апр '18 23:42

изменен 8 Апр '18 11:00

all_exist, спасибо

(8 Апр '18 0:08) Сave
10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь возможна несложная прямая проверка. С точностью до отношения подобия, любая парабола переводится в стандартную, с уравнением y=x^2. Её фокус имеет координаты (0,1/4), директриса задаётся уравнением y=-1/4. Рассмотрим точку (a,a^2) на параболе, где a > 0. Уравнение касательной имеет вид y=2a(x-a)+a^2. Ось абсцисс эта прямая пересекает в точке (a/2,0). Соединяя её с фокусом, получаем прямую с угловым коэффициентом -1/(2a). Значит, она перпендикулярна касательной, так как произведение угловых коэффициентов равно -1. Поэтому при отражении относительно касательной, ордината вместо 1/4 станет равна -1/4, и точка попадёт на директрису.

ссылка

отвечен 8 Апр '18 0:00

falcao, спасибо

(8 Апр '18 0:09) Сave

@falcao, если рассматривать сжатие, то надо показать, что сохраниться перпендикулярность... либо рассматривать параболу с произвольным фокусом...

(8 Апр '18 11:01) all_exist

@all_exist: сжатие не сохраняет перпендикулярность, но я рассматриваю только преобразования подобия. Тогда py=(px)^2 даёт общий случай.

(8 Апр '18 12:52) falcao

@falcao, мдя... про такое преобразование я не подумал... (((

(8 Апр '18 13:43) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×36

задан
7 Апр '18 23:36

показан
552 раза

обновлен
8 Апр '18 13:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru