Найти все функции $% f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $% такие что, $% f(x) \geq f(y)sin(x-y), \forall x,y \in \mathbb{R} $%

задан 10 Апр 3:41

10|600 символов нужно символов осталось
1

Определим $%a_n = f(\frac{\pi n}{2})$% тогда

$$a_{n+1} \geq a_{n} \sin(\frac{\pi}{2}) = a_{n} $$

$$a_{n-3} \geq a_{n} \sin(\frac{-3\pi}{2}) = a_{n} $$

Теперь $$a_{n-3} \geq a_n \geq a_{n-1} \geq a_{n-2} \geq a_{n-3}$$

Значит, $$a_n = a_{n-1} = a_{n-2} = a_{n-3}$$

Итак $%f(x+\frac{\pi}{2}) = f(x)$% для всех x.<br><br>

$$f(x+\frac{\pi}{2}+\Delta x) \geq f(x) \sin(\frac{\pi}{2}+\Delta x)$$

$$f(x+\frac{\pi}{2}+\Delta x) \geq f(x) \cos(\Delta x)$$

$$f(x+\frac{\pi}{2}+\Delta x) \geq f(x)$$

$$f(x+\Delta x) \geq f(x)$$

Значит $%f$% не убывающая.

Так как $%f$% неубывающая периодическая функция, то она должна быть постоянной.

ссылка

отвечен 13 Апр 15:48

1

@Роман83: непонятен переход от третьего снизу неравенства (в котором cos(Dx) ко второму снизу.

(14 Апр 0:05) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,127

задан
10 Апр 3:41

показан
127 раз

обновлен
14 Апр 0:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru