Дан остроугольный треугольник KLM, KL = 8, LM = 6. Высоты MQ и KR пересекаются в точке T. Через точки K и T проведены прямые, перпендикулярные прямой QR, пересекающие прямую LM в точках A и B соответственною. Найти длину AB без использования координатного метода.

задан 10 Апр 21:21

изменен 11 Апр 14:59

Высоты MQ и KR пересекаются в точке R -- как такое может быть? Высоты остроугольного треугольника должны пересекаться внутри него, а не на стороне.

(10 Апр 21:35) falcao

исправил условия

(11 Апр 15:00) tronqer92
10|600 символов нужно символов осталось
3

Воспользуемся известным свойством ортотреугольника, согласно с которым стороны даного остроугольного треугольника антипаралельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат. Поэтому равны углы LKМ и LRQ. Проекция отрезка АВ на прямую QR равна АВсоsLRQ, а проекция отрезка КТ на прямую QR равна KTsinLRQ. Эти проекции равны и поэтому получим, что АВ=КTtgLKМ. Пусть О - центр описанной окружности треугольника КLМ; Н - середина LM. Угол LОН равен углу LKМ. Тогда из треугольника LОН получим, что tgLKМ=3/ОН. Тогда АВ=3КТ/ОН. С другой стороны, хорошо известно, что КТ=2ОН. Получим, что АВ=6.

Р.S. "почему KT = 2 OH?" - потому, что хорошо известно, что для произвольного треугольника расстояние от ортоцентра до вершины вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны треугольника.

ссылка

отвечен 12 Апр 15:25

изменен 17 Апр 17:19

@Witold2357: у меня такой же ответ получился, и рассуждал я очень похоже.

(12 Апр 15:34) falcao

почему KT = 2 OH?

(16 Апр 14:43) tronqer92
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×646

задан
10 Апр 21:21

показан
221 раз

обновлен
17 Апр 17:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru