Существует ли иррациональное число от 0 до 1, в десятичной записи которого нет единиц и такое, что любые две последовательных цифры образуют простое число?

Я думаю, что достаточно взять число $%0,3737373737...$% и заменить в нём некоторые тройки девятками. Например, вторую, четвёртую, восьмую, 16-ю, 32-ю и т. д.

Но как строго доказать, что это число будет иррациональным? Здесь "умом чувствую, что пол-литра" не прокатит. Так же, как и "мамой клянусь".

задан 12 Апр 10:36

1

А что тут доказывать? Последовательность будет непериодической. В период (начиная с некоторого места) должны входить и цифры 3, и цифры 9, так как они время от времени встречаются. Но тогда расстояние между 3 и 9 равномерно ограничено. Или так: если пробелы между девятками сколь угодно велики, то в них поместится целый период, в котором девяток нет.

Более того, про такое число даже трансцендентность можно доказать (по Лиувиллю).

(12 Апр 12:32) falcao
2

Тут даже и Лиувилля можно не трогать - хватит мощностных соображений: для выбора мест для девяток есть счётное число возможностей, стало быть всех таких чисел континуум, а множество алгебраических чисел счётно.

(12 Апр 13:35) bot
1

@bot: да, согласен -- если говорить о вопросе из первого абзаца. Но если строить конкретные примеры, то тогда нужны соображения в духе Лиувилля.

(12 Апр 13:43) falcao

@falcao, Вы пишете: "Более того, про такое число даже трансцендентность можно доказать (по Лиувиллю)."

Вас не затруднит с этого момента поподробнее?

(12 Апр 15:41) Казвертеночка
2

@Казвертеночка: есть теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными. Пересказывать это дело довольно долго. Посмотрите в учебниках по теории чисел типа Бухштаба. Там есть доказательство и примеры.

(12 Апр 15:48) falcao

@falcao, большое Вам спасибо от меня и от @Казвертеночка!

(12 Апр 19:06) Пацнехенчик ...

@falcao, Вы пишете: "Более того, про такое число даже трансцендентность можно доказать (по Лиувиллю)"

У меня ощущение, что тут народный такой латышский праздник, стесняюсь написать его название :) Это я к тому, что разочарование Вас ждёт. Либо же Вы считаете теорему Рота "рассуждениями в духе Лиувилля".

(13 Апр 1:28) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: не понимаю, над чем Вы иронизируете. Есть известный пример (см. здесь), основанный на теореме Лиувилля. Если взять число 0,10...010...10..., где единицы встречаются всё реже и реже, то оно будет трансцендентным. Можно сделать так, чтобы цифра 1 встречалась только на нечётных местах. Потом умножить на 6 и прибавить к числу 0,(37), чтобы некоторые тройки стали девятками. Тогда вроде всё работает. Разве нет? Что номера мест -- не всегда степени 2, не важно.

(13 Апр 1:54) falcao

@falcao, у меня сегодня уже глаза sleepаются, завтра проверю, где у меня ошибка...

(13 Апр 2:06) Казвертеночка

@falcao, по поводу трансцендентности. Дело в том, что у функции помимо роста бывает еще и скорость роста :)

И не суть важно, что почти все трансцендентные числа имеют меру иррациональности два - это весело, но неконструктивно и с доказательствами трансцендентности конкретного числа никак не помогает.

(13 Апр 20:17) Пацнехенчик ...

@Пацнехенчик ...: а что следует из первой фразы, и что она в принципе означает? :) "Смайлик за смайлик" :)

Доказательство того, что число 0,10...010...010... трансцендентно, где промежутки между единицами сильно увеличиваются (см. ссылку про "лиувиллево число") совершенно конструктивно и осуществляется вполне элементарными методами. Этого достаточно, чтобы на основе такого числа построить конкретный пример трансцендентного числа с парами цифр 37, 73, 97, 79. Выше я привёл доказательство. На что Вы возражаете, непонятно.

(13 Апр 21:39) falcao

@falcao, не всякое число с увеличивающимися промежутками лиувиллево. Чтобы оно было лиувиллевым, промежутки должны увеличиваться довольно быстро, 2^n - скорость недостаточная. Возможно, я ошибаюсь...

(14 Апр 0:50) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: если вопрос состоит только в этом, то выше это обстоятельство уже обсуждалось. Я не знаю, какими средствами можно (и можно ли) доказать трансцендентность числа из нулей и единиц с 1 на местах с номерами вида 2^n. Если взять 3^n или больше, то из теорем типа Туэ - Зигеля - Рота результат должен вытекать. Но я этим вопросом отдельно не интересовался, так как с самого начала имел в виду "достаточно большие" промежутки, которые мы выбираем сами. Для "усиленного" варианта изначальной задачи, не играет роли, как часто будут эти единицы появляться, поэтому делаем как у Лиувилля.

(14 Апр 1:05) falcao
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×828
×170
×10
×3
×3

задан
12 Апр 10:36

показан
190 раз

обновлен
14 Апр 1:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru