|
Как доказать, что поле из p^n элементов единственно (p-простое, n-натуральное)? задан 6 Фев '12 17:24 
dmg3 |
|
Это поле F является конечным линейным пространством над полем Z. Из конечности вытекает конечномерность.Пусть разменость $%dim F_{Z_p}=m$% и $%a_1,a_2,...,a_m$% - базис этого пространства. Тогда любой элемент x поля единственным образом представим в виде линейной комбинации $$x=c_1a_1+c_2a_2+...+c_ma_m $$, где $%c_k$% из поля $%Z_p$%. Таких элементов будет ровно $%p^m=p^n$%. В частности, $%m=n$%. Осталось сказать, что n-мерные векторные пространства над конкретным полем изоморфны. Изоморфизм пространств окажетсятакже изоморфизмом полей,т.е. выполнена единственность поля F отвечен 6 Фев '12 18:58 
ValeryB Позвольте не согласиться с утверждением про то, что изоморфизм пространств является изоморфизмом полей. Рассмотрим С(поле комплексных чисел) и Qsqrt(2). Они изоморфны как пространства с базисами (1, i) и (1, sqrt(2)). Но в первом (1, 1)*(1, 2)=(5, 3), а во втором (-1, 3), так что вы неправы, но все равно спасибо.
(6 Фев '12 19:37)
dmg3
Да, согласен.Сделал кряк.Тогда будем думать так. Поле F является конечномерным расширением поля Zp с помощью присоединения всех корней одного многочлена x^n-1. Надо понимать, это и гарантирует единственность этого расширения. Это вытекает из того, что поля , полученные расширением с помощью одного корня неприводимого многочлена, изоморфны. Последовательно присоединяем корни многочлена x^n-1 и получим ответ
(6 Фев '12 20:01)
ValeryB
1
Мне кажется это утверждение станет верным, если заменить x^(n)-1 на x^(p^n-1)-1. Действительно, заметим, что наше поле без нуля - циклическая группа порядка p^(n)-1 и в нем всегда есть элемент порядка p^(n)-1, так что все элементы корни этого многочлена и наше поле-его поле разложения.
(6 Фев '12 20:11)
dmg3
Да, верно. Не могу возразить. В путь, к вершинам гор и полей
(6 Фев '12 20:16)
ValeryB
|
|
Мне кажется, здесь представляет интерес доказательство, не опирающееся на общий факт об изоморфизме полей разложения (он достаточно неочевиден). Прежде всего, с каждым полем порядка $%p^n$% легко связать какой-то из неприводимых над $%{\mathbb Z}_p$% многочленов степени $%n$%. Обратно, по каждому такому многочлену строится факторкольцо, которое будет полем порядка $%p^n$%. И здесь для доказательства существования такого поля необходимо и достаточно установить существование хотя бы одного неприводимого многочлена заданной степени. А это делается через комбинаторный подсчёт общего числа таких многочленов, с использованием функции Мёбиуса. Вообще, здесь нужно доказывать то, что многочлен $%X^{p^n}-X$%, разложенный на неприводимые над основным подполем сомножители, обладает следующим свойством: в этом разложении ровно один раз участвует каждый неприводимый многочлен степени $%d$%, делящей $%n$%. Это сравнительно несложно получается с использованием стандартных фактов. А единственность теперь можно доказать на основании того, что от выбора неприводимого многочлена степени $%n$% результат не зависит. Сделать это можно так: взяли какой-то неприводимый многочлен, построили факторкольцо. Это будет поле порядка $%p^n$%, и все его элементы суть корни $%X^{p^n}-X$%. Поскольку этот многочлен делится на любой другой заданный неприводимый многочлен $%n$%-й степени, то в поле есть его корень $%\alpha$%, и тогда проверяется, что простое алгебраическое расширение $%{\mathbb Z}_p(\alpha)$% совпадает со всем полем. Отсюда следует, что все поля порядка $%p^n$% совпадают с точностью до изоморфизма. отвечен 18 Фев '13 15:17 
falcao |