|
Имеется лемма
Сразу за ней идет такое:
"... So the powers are linearly dependent" - это, видимо, следствие какого-то факта из линейной алгебры. Какова его общая формулировка? (Я думал про то, что n+1 векторов в n-мерном пространстве зависимы, но $%\alpha^i\beta^j$% базис не образуют) (a): каким образом неприводимость связана с тем, о чем говорилось выше? (b): (Здесь $%\alpha_1=\sqrt[3] 2, \alpha_2=\alpha_1 e^{\pi i/3}, \alpha_3=\alpha_1 e^{2\pi i/3}$%.) Почему 9 мономов линейно зависимы (про то, что в базисе 6 элементов на этот момент не известно)? Далее, говорится, что степень $%\alpha_2$% над $%L$% по большей мере 2, и тотчас же говорится, что $%(1,\alpha_2)$% - базис для $%K$% над $%L$% (что вроде бы имеет место iff степень $%\alpha_2$% над $%L$% равна 1). Почему степень $%\alpha_2$% над $%L$% не равна 2? Каким образом приходят к заключению о базисе $%K$% над $%F$%? задан 13 Апр '18 5:52 
Slater |
|
По поводу первого факта: если линейное пространство порождено n векторами, то предположение о линейной зависимости не обязательно. У системы из n векторов есть база -- линейно независимая подсистема, в которой не более n векторов. Тогда размерность не превосходит n, и этого достаточно, чтобы система из n+1 вектора оказалась линейно зависимой. По поводу а): связь тут просматривается следующая. Предположим, что многочлен x^4-10x^2+1 приводим над Q. Тогда его можно разложить на множители, степень одного из которых не больше 2. Рассмотрим корень этого многочлена. Он, как мы знаем, имеет вид a=+-sqrt(2)+-sqrt(3). Если какое-то из этих чисел есть корень многочлена степени <=2, то степень расширения Q(a):Q не больше 2. Рассмотрим случай a=sqrt(3)+sqrt(2), так как остальные случаи аналогичны данному. Ясно, что 1/a=sqrt(3)-sqrt(2) есть элемент того же поля. Беря полусумму и полуразность, мы имеем, что числа sqrt(2), sqrt(3) принадлежат Q(a). Тогда sqrt(6) тоже принадлежит. Используем тот факт, что элементы 1, sqrt(2), sqrt(3), sqrt(6) линейно независимы над Q (он легко доказывается элементарными средствами, на уровне школьной программы). Тогда получается, что Q(a) содержит линейное подпространство размерности 4, что противоречит предположению dim Q(a)<=2. Насчёт b): там в рассуждении сначала нечто утверждается, а потом обосновывается, как это очень часто происходит. Априори совсем не очевидно, что мономы линейно зависимы, но далее показывается, что вместо 9 можно обойтись 6 элементами. Из рассуждения следует, что 6 элементов порождают линейное пространство. Базисность надо доказывать отдельно, проверяя, что степень расширения (после присоединения всех трёх корней), равна 6, а не меньше. Там получается "башня" из двух "этажей". То, что степень Q(2^{1/3}) над Q равна 3, очевидна, так как x^3-2 неприводим над Q. То, что второй "этаж" имеет степень как минимум 2 (обратите внимание, что степень 1 для расширения L:K для любых полей равносильна тому, что L=K), следует из того простого факта, что два других корня мнимые, а Q(2^{1/3}) содержится в R. Поэтому совпадать поля не могут, и степень расширения равна как минимум 2. Итого не меньше 6. отвечен 14 Апр '18 0:58 
falcao Насчет а): авторы предполагали, что то, что Вы написали, очевидно читателю? Насчет б): ну хорошо, размерность K над Q не меньше 6, и в базисе по меньшей мере 6 элементов. Но как из того, что (1, alpha_2) - базис K над L заключают, что базис для K над Q такой, как заявлено? Опять насчет стилистики авторов - для понимания того, что происходит, между частями "has degree at most 2 over L" и "The set (1, alpha_2) is a basis for K" мне не хватило чего-нибудь типа "But it cannot equal 1 because alpha_2 is not real and cannot lie in L".
(14 Апр '18 1:30)
Slater
@Slater: у меня нет в распоряжении всей книги, поэтому я могу лишь предполагать. Здесь рассматривается пример, иллюстрирующий некий общий результат. По ходу дела какие-то свойства или особенности могут лишь отмечаться. Причины могут быть разные: что-то оставляется читателю, что-то могло доказываться чуть раньше или позже. Обосновывать все "мелочи" было бы плохо, так как текст становится "нечитабельным". Я за то, чтобы "одноходовые" вещи не пояснять. Если говорится, что степень равна 2, читатель сам должен себя спросить, а почему не 1, и сам увидеть причину, по которой два поля не совпадут.
(14 Апр '18 3:25)
falcao
Так а откуда узнали, что те 6 элементов образуют базис? Или это тоже "только отмечается"?
(14 Апр '18 6:04)
Slater
|