Доказать (e^x - 1)*ln(1+x)>x^2 при x>0

В ряд пытался Маклорена пытался разложить, не помогло

задан 13 Апр 12:58

изменен 13 Апр 16:07

goldish09's gravatar image


2.7k18

10|600 символов нужно символов осталось
5

Для начала, докажем неравенство $%\ln(1+x)> \frac{x}{1+0.5x}$%. Функция $%f(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+0.5x}$% принимает значение равное 0 в точке $%x=0$%, а дальше возрастает, ибо ее производная $%\frac{df(x)}{dx}= \frac{0.25x^2}{(1+x)(1+0.5x)^2} >0$%. Значит $%\ln(1+x)> \frac{x}{1+0.5x}$%, откуда $%(x+0.5x^2) \ln(1+x)> x^2$%. По ряду Тейлора видно, что $%e^x-1>x+0.5x^2$%

ссылка

отвечен 13 Апр 14:12

10|600 символов нужно символов осталось
4

Пусть $%A(x,e^x-1)$%, $%B(x,-\ln(1+x)$% и $%O(0,0)$%.

Теперь несложно увидеть, что $$\measuredangle AOB>90^{\circ}$$ откуда все и следует.

alt text

ссылка

отвечен 13 Апр 13:15

изменен 13 Апр 13:22

10|600 символов нужно символов осталось
4

$%f (x)=e^x-1 $%

$%g (x)=tg (\alpha)=\dfrac {f (x)}{x} $%-возрастает , $%x\ge ln(1+x) $%

$%\Rightarrow g (x)\ge g (ln (1+x))$%

ссылка

отвечен 13 Апр 14:28

изменен 13 Апр 14:29

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,553

задан
13 Апр 12:58

показан
130 раз

обновлен
13 Апр 16:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru