Пусть $%m, n \in \mathbb{N}$%. Докажите, что следующие условия эквивалентны:

(1) $%m, n$% взаимно просты;

(2) для всякой группы $%G$%, всякой подгруппы $%A \subseteq G$% порядка $%m$% и всякой подгруппы $%B \subseteq G$% порядка $%n$% выполняется условие $% A \cap B = \{e\}$%.

задан 13 Апр '18 16:40

Ну так а чему может быть равен порядок их общего элемента?

(13 Апр '18 17:12) spades

В одну сторону импликация очевидна: из x^m=1, x^n=1 следует x=1, если m,n взаимно простые.

В другую сторону всё тоже просто: если m,n не взаимно просты, то рассматриваем циклическую группу порядка mn. Если x -- образующий, то берём подгруппы A=<x^n> и B=<x^m> порядков m и n. Они пересекаются по подгруппе с образующим x^{НОК(m,n)} порядка d=НОД(m,n) > 1.

(13 Апр '18 23:16) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,137
×385

задан
13 Апр '18 16:40

показан
591 раз

обновлен
13 Апр '18 23:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru