x=a(t^2-2t), y=a(t^2-1)(t-3), a>0 я понимаю как найти площадь, но не могу определить пределы интегрирования в данном случае

задан 13 Апр 18:59

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь надо найти точку самопересечения кривой. Для простоты положим a=1. Значение площади в конце останется умножить на a^2.

Предположим, что для двух разных значений параметра, точки кривых совпали. Тогда t^2-2t=s^2-2s, (t^2-1)(t-3)=(s^2-1)(s-3). Из первого уравнения t^2-s^2=2(t-s), сокращая на t-s, имеем t+s=2. Подставляя s=2-t во второе уравнение, приходим к кубическому уравнению t^3-3t^2-t+3 с тремя корнями t=-1,1,3. Им соответствуют s=3,1,-1. Средний случай отбрасываем, так как для него t=s. Остаётся пара значений t=-1, s=3, для которых точка кривой оказывается одной и той же: x=3, y=0. Поэтому в пределах -1<=t<=3 и надо будет интегрировать по известной формуле.

ссылка

отвечен 13 Апр 23:33

Кстати, здесь можно явно выразить y через x двумя способами (за счёт двух корней квадратного уравнения. Это y=+-(x-3)sqrt(x+1). Тогда площадь равна удвоенному интегралу от -1 до 3 от функции y=(3-x)sqrt(x+1). Итого будет 512a^2/15.

(13 Апр 23:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,042

задан
13 Апр 18:59

показан
62 раза

обновлен
13 Апр 23:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru