alt text

Ярдена хочет вписать натуральные числа в ячейки на рисунке так, чтобы, начиная со второго снизу ряда, каждое число являлось суммой двух чисел в соседних ячейках, расположенных непосредственно снизу от него. Какое наибольшее количество нечётных чисел может вписать Ярдена?

задан 14 Апр 1:24

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пример с 10 нечётными: снизу пишем 0 1 1 0 1, над ними будет 1 2 1 1, над ними 3 3 2, слоем выше 6 5, и в самом верху 11. Легко построить и пример с попарно различными значениями.

Покажем, что 11 и более чисел быть не может. Это равносильно тому, что хотя бы 5 выписанных чисел чётны. Обозначим нижнюю строку в буквенном виде a b c d e. Тогда вторая снизу строка a+b b+c c+d d+e. Третья a+c b+d c+e (сложение по модулю 2), четвёртая a+b+c+d b+c+d+e, и сверху a+e. В каждом "треугольнике", где два числа складываются, есть чётное. Выделим треугольники с "основанием" a b; затем d e, а также b+c c+d. Они попарно не пересекаются и дают по крайней мере 3 чётных числа. Ещё одна тройка образована числами a+c c+e в третьей строке и a+e сверху. Это уже 4 штуки.

Не вошедшие сюда числа c и числа второй сверху строки полагаем равными 1. Тогда сверху 0, потом две единицы, в третьей сверху строке x x+1 x. Во второй снизу идут y x+y y+1 x+y+1 x. В самой нижней строке слева от центральной 1 идут x+y+1 x+1, а правее неё y x+1. В первой и третьей сверху строках вместе имеется по крайней мере два чётных. Во второй снизу есть две пары чисел противоположной чётности. Это уже исчерпывает "лимит". В самой нижней строке все пять чисел нечётными быть не могут: если x+1=y=1, то x+y+1=0.

ссылка

отвечен 14 Апр 3:42

@falcao, большое спасибо!

(14 Апр 9:50) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×521
×32
×23
×21
×4

задан
14 Апр 1:24

показан
33 раза

обновлен
14 Апр 9:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru