Почему из конечности характеристики следует то, что в конечном поле содержится некоторое $%\mathbb F_p$%? ($%\mathbb F_p$% определяется как множество остатков по модулю $%p:\mathbb F_p=\{\overline 1,\dots,\overline{p-1}\}$% с операциями фактор кольца $%\mathbb Z/(p)$%)

alt text

задан 14 Апр 2:38

Во всяком поле есть единица. Временно обозначим её через e. Тогда элементы поля 0,e,2e,...,(p-1)e образуют подполе, изоморфное Z_p. Поскольку роль e чисто "декоративная", далее её обозначают как 1, и отождествляют всё с вычетами.

То, что характеристика -- простое число, обосновывается раньше, и это из отсутствия делителей нуля легко следует.

(14 Апр 2:42) falcao

То есть на словах рассматривается "наименьшее подполе, порожденное единицей поля".

Еще одно рассуждение, на которое я наткнулся: Пусть $%F$% - поле характеристики $%p$%. Рассмотрим гомоморфизм колец $%\mathbb Z\to F, n\mapsto n\cdot 1_F$%. Его ядро равно $%(p)$%. Это отображение сюръективно отображает $%\mathbb Z$% в некоторое подмножество $%F$%, изоморфное $%\mathbb Z/(p)$%. Поскольку это подмножество - конечная область целостности, оно является полем. Т.е. этот образ - простое подполе $%F$%.

(14 Апр 7:12) Slater

@Slater: тут все рассуждения годятся, потому что сам факт очень простой.

(14 Апр 14:31) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,563

задан
14 Апр 2:38

показан
65 раз

обновлен
14 Апр 14:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru