Почему из конечности характеристики следует то, что в конечном поле содержится некоторое $%\mathbb F_p$%? ($%\mathbb F_p$% определяется как множество остатков по модулю $%p:\mathbb F_p=\{\overline 1,\dots,\overline{p-1}\}$% с операциями фактор кольца $%\mathbb Z/(p)$%)

alt text

задан 14 Апр 2:38

изменен 11 Ноя 2:26

%D0%9A%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0's gravatar image


2.5k210

1

Во всяком поле есть единица. Временно обозначим её через e. Тогда элементы поля 0,e,2e,...,(p-1)e образуют подполе, изоморфное Z_p. Поскольку роль e чисто "декоративная", далее её обозначают как 1, и отождествляют всё с вычетами.

То, что характеристика -- простое число, обосновывается раньше, и это из отсутствия делителей нуля легко следует.

(14 Апр 2:42) falcao

То есть на словах рассматривается "наименьшее подполе, порожденное единицей поля".

Еще одно рассуждение, на которое я наткнулся: Пусть $%F$% - поле характеристики $%p$%. Рассмотрим гомоморфизм колец $%\mathbb Z\to F, n\mapsto n\cdot 1_F$%. Его ядро равно $%(p)$%. Это отображение сюръективно отображает $%\mathbb Z$% в некоторое подмножество $%F$%, изоморфное $%\mathbb Z/(p)$%. Поскольку это подмножество - конечная область целостности, оно является полем. Т.е. этот образ - простое подполе $%F$%.

(14 Апр 7:12) Slater
1

@Slater: тут все рассуждения годятся, потому что сам факт очень простой.

(14 Апр 14:31) falcao

http://funkyimg.com/i/2N1xF.png

Тут, видимо, используется какой-то факт о полях частных? Какой? (Почему если есть инъекция Z в F, то F содержит подполе изоморфное полю частных Z?)

(10 Ноя 23:43) Slater
1

@Slater: факт о простом подполе можно излагать сразу после определения поля. При этом не надо быть знакомым с конструкцией поля частных, которая намного более абстрактна и сложна. Не говоря о том, что после его построения обычно доказывают ещё и единственность такого поля. Более точно, если A -- целостное кольцо, и оно содержится в каком-то поле P, то P содержит изоморфную копию поля частных. Я не сторонник того, чтобы факты школьного уровня доказывать при помощи чего-то более сложного. Здесь достаточно самых простых соображений и рассмотрения двух случаев (для порядка 1 в аддитивной группе).

(11 Ноя 2:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,857
×223

задан
14 Апр 2:38

показан
127 раз

обновлен
11 Ноя 2:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru