Очередная порция примеров (к теореме https://c.radikal.ru/c24/1804/38/62f051003e7c.png):

alt text

(ii)

Почему $%(1,\beta,\beta^2)$% - базис $%\mathbb F_8$%? До этого единственное утверждение про базисы, которое давалось, такое - https://d.radikal.ru/d21/1804/ff/d4324035c620.png Но оно вроде не применимо.

Почему в качестве беты взяли именно корень кубического многочлена?

Как связано содержание полей друг в друге со степенями расширений (последняя строчка в (ii))?

задан 14 Апр 3:32

изменен 14 Апр 6:53

Я удалил вопросы из текста выше про то, почему степень F_{p^n} над F_p равна n, т.к. разобрался. Оставил только вопросы по части (ii). (Насчет степени: как было выяснено, характеристика F_{p^n} равна p, тогда F_{p^n} содержит F_p и является векторным пространство над ним, т.е. F_{p^n} изоморфно F_p^m для некоторого натурального m, которое является размерностью F_{p^n} над F_p. Но это m должно быть равно n потому что любой изоморфизм биективен и F_{p^n} содержит p^n элементов, тогда как F_p^m содержит p^m элементов.)

(14 Апр 6:57) Slater

@Slater: концовка рассуждения оформляется проще. Там не надо говорить об изоморфизмах. Если размерность конечного поля над F_p равна m, то его мощность равна p^m ввиду однозначности разложения по базису. Отсюда p^m=p^n и m=n. Сравнения мощностей тут достаточно. У Вас, по сути, сказано то же самое, но в более сложной форме.

(14 Апр 15:17) falcao

@Slater: почему утверждение про базисы неприменимо? Элемент beta имеет степень 3. Значит, F_2(beta) имеет базис 1, beta, beta^2. Это поле из 8 элементов. Корень неприводимо многочлена степени 3 взят для того, чтобы получить поле порядка 2^3=8.

Если для конечных полей степень L:K равна m, то |L|=|K|^n. Поэтому из того, что F8 > F4, следует противоречие, так как 8 не есть степень 4.

(14 Апр 16:14) falcao

Для F_2(beta) 1, beta, beta^2 - базис. Но в тексте говорится что это базис для F_8. Получается, F_8=F_2(beta)?

(14 Апр 18:25) Slater

@Slater: по завершении изложения теории конечных полей, становится известным, что для любого простого p и любого натурального n существует поле порядка p^n, причём все такие поля изоморфны. Оно с точностью до изоморфизма далее обозначается в виде F_{p^n} или GF(p,n), или как-то ещё. Но пока этот факт не установлен, представляет интерес построение каких-нибудь полей такого типа, и демонстрация вычислений в них, что здесь и делается. Поэтому на данном этапе через F8 обозначают просто какое-нибудь поле из 8 элементов, которое удалось построить.

(14 Апр 19:23) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,563

задан
14 Апр 3:32

показан
68 раз

обновлен
14 Апр 19:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru