alt text

Имеется в виду пример отсюда math.hashcode.ru/questions/153608/

задан 14 Апр 7:19

10|600 символов нужно символов осталось
1

Легко видеть, что $%1+e^{i\phi}=1+\cos\phi+i\sin\phi=2\cos\frac{\phi}2e^{i\phi/2}$%. Отсюда $%1+e^{i\pi/3}=\sqrt3e^{i\pi/6}$%. Следовательно, для числа $%z=\sqrt[3]2(1+e^{i\pi/3})=\sqrt[3]2\sqrt3e^{i\pi/6}$% мы имеем $%z^6+108=0$%. Этот многочлен неприводим над $%\mathbb Q$%, так как в противном случае он делится на некоторый многочлен с рациональными коэффициентами степени $%m$% от $%1$% до $%3$%. Тогда для этого многочлена имеется разложение на линейные множители вида $%(z-z_1)\ldots(z-z_m)$%, где модуль свободного члена равен $%(\sqrt[3]2\sqrt3)^m$%. Однако для всех рассматриваемых $%m$% такое число иррационально.

Другой способ проверки неприводимости, основанный на результатах упражнения, состоит в следующем. Пусть $%\mathbb Q < \mathbb Q(a) < \mathbb Q(a,b)$% -- башня полей, где $%a=\sqrt[3]2$%, $%b=e^{i\pi/3}$%. Числа удовлетворяют уравнениям $%a^3-2=0$% и $%b^2-b+1=0$%. Имеется базис над $%\mathbb Q$% последнего из расширений: $%1$%, $%a$%, $%b$%, $%a^2$%, $%ab$%, $%a^2b$%. По нему можно последовательно разложить все степени элемента $%z=a(1+b)$%. А именно, $%z^2=a^2(1+2b+b^2)=3a^2b$% с учётом $%b^2=b-1$%, затем $%z^3=6b(1+b)=6(2b-1)$% и так далее вплоть до $%z^5$%. После этого выписывается матрица 6-го порядка, и проверяется, что она невырождена. Этот способ вычислительно сложнее, но он более универсален, так как позволяет работать с любыми элементами расширения.

ссылка

отвечен 14 Апр 16:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,857

задан
14 Апр 7:19

показан
113 раз

обновлен
14 Апр 16:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru