Дан следующий ряд $$U_n = \frac{1}{1+n} +\frac{1}{2+n}+ ... + \frac{1}{2n}$$ Найти $$\lim_{n \to \infty}U_n$$

задан 14 Апр 20:12

10|600 символов нужно символов осталось
2

$$U_n=\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}} +\frac{1}{1+\frac{2}{n}}+...+\frac{1}{1+\frac{n}{n}} \right) \frac{1}{n}$$ Поэтому, по определению интеграла Римана, $$\lim \limits_{n \to \infty} U_n=\int \limits_0^1 \frac{dx}{1+x}=\ln2$$

Добавление Обьясню сказанное, как говорится, на пальцах. Если нам надо найти записанный выше интеграл, то как мы можем поступить? Мы можем отрезок $%[0;1]$% разбить на $%n$% равных частей, т.е. у нас $%\Delta x$% будет равнятся $%\frac{1}{n}$%. Дальше мы найдем значение функции $%\frac{1}{1+x}$% на коньцах всех наших отрезков. Эти значения равны $$\frac{1}{1+\frac{1}{n}} ,\; \frac{1}{1+\frac{2}{n}},... \; \frac{1}{1+\frac{n}{n}} $$ . Ну, а дальше эти значения умножим на $%\Delta x$% (т.е на $%\frac{1}{n}$%) и найдем суму этого дела. Она равна $%U_n$%. А, по определению интеграла Римана, предел этой сумы равен интегралу.

ссылка

отвечен 14 Апр 20:26

изменен 14 Апр 20:53

10|600 символов нужно символов осталось
2

Если дана убывающая функция $%f(x) > 0$%, то площадь криволинейной трапеции между прямыми $%x=n$% и $%x=2n$% оценивается сверху и снизу площадями ступенчатых фигур. Отсюда получается, что $$f(n+1)+\cdots+f(2n) < \int_n^{2n}f(x)\,dx < f(n)+f(n+1)+\cdots+f(2n-1),$$ где $%f(x)=\frac1x$%.

Интеграл здесь равен $%\ln2n-\ln n=\ln2$%, поэтому $%U_n < \ln2$% из первого неравенства и $%U_n > \ln2-f(n)+f(2n)=\ln2-\frac1{2n}$% из второго. Обе оценки стремятся к $%\ln2$%, поэтому предел $%U_n$% равен этому же числу по "лемме о двух милиционерах".

ссылка

отвечен 14 Апр 20:33

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×609
×269

задан
14 Апр 20:12

показан
92 раза

обновлен
14 Апр 20:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru