Здравствуйте, по зданию необходимо найти радиус сходимости ряда. $$\sum_{n=1}^{\infty}n!z^{n!}$$ Если выполнять задание вот так: $$R=\lim_{n\rightarrow\infty}|\frac{n!}{(n+1)!}|=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{n!(n+1)}=0$$ Ответ получается неправильный, судя по учебнику. В чем дело? если дело в том,что у 'z' степень является функцией, то как исправить положение?

задан 14 Апр 20:50

изменен 14 Апр 20:50

По формуле Коши -- Адамара, надо сначала найти верхний предел последовательности |a_m|^{1/m}. Эта величина равна нулю, если m не является факториалом, и равна m^{1/m}, если является. Поэтому верхний предел равен 1. Радиус сходимости -- обратная величина. Она также равна 1.

У Вас формула применена к другому ряду -- когда коэффициент при z^n равен n!. Там действительно R=0, но здесь ряд совсем не такой.

(14 Апр 21:57) falcao

@falcao, спасибо большое за ответ. А не могли бы, пожалуйста, назвать книжку какую-то или ресурс, где более подробно написано про формулу Коши-Адамара? потому что везде я вижу лишь описание про ситуации, где над z стоит просто n. К примеру, у меня сейчас при решениии очередной задачи возникла ситуация, когда над z стоит n^2. Как поступать в такой ситуации? Хотелось бы получить ответ не конкретно для этого случая, а более общий ответ, чтобы иметь возможность решать задачи, когда над z стоит что угодно. Я ведь правильно понял что причина в этом?

(19 Апр 1:15) tikol2006

@tikol2006: формула Коши - Адамара стандартна. При каждом z^n есть коэффициент a(n), и в таком виде ряд нужно уметь представить. Если идут только члены z^{m^2}, то a(n)=0, если n не является квадратом, и a(n) выражается через m=sqrt(n), если является. Формула с участием верхнего предела охватывает в том числе и такие случаи.

Для лучшего осознания: ряд из условия задачи развёрнуто записывается как z+2z^2+6z^6+24z^{24}+... . Это значит, что последовательность a(n) при n=1,2,3,... такова: 1,2,0,0,0,6,0,...,0,24,0,... . Здесь a(n)=n, если n является факториалом, и a(n)=0, если не является.

(19 Апр 1:40) falcao

@falcao ладно, я, кажется, разобрался. Надо просто считать через формулу с верхним пределом и тогда будет правильно. Однако, остается не ясным, в какой момент я должен понять что одна формула работать не будет, а другая будет. А так же весьма не понятно как аналитически искать верхний предел. Могу себе представить их расчет только на интуитивном уровне а-ля "ну видно, что тут верхний предел такой-то". Однако, считаю это весьма странным способом, потому что при более сложных задачах возникнут проблемы с расчетами "в воздухе".

(19 Апр 1:42) tikol2006

@tikol2006: нужно осознать одну очень простую вещь. Через a(n) в формуле обозначается коэффициент при z^n. Никакой "другой" формулы здесь нет. Если написано что-то типа n^4z^{n^2}, то надо обозначить показатель через m, и тогда a(m)=n^4=m^2. Там, где коэффициентов нет, a(m) равно нулю. Получится последовательность с нулями. Её верхний предел равен обычному пределу, если нули вычеркнуть.

(19 Апр 2:00) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,702
×618
×5

задан
14 Апр 20:50

показан
102 раза

обновлен
19 Апр 2:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru