На сайте подготовки к ЕГЭ имеется такая задача."При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?". И приводится одно из возможных решений: "Вычисляем вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов:

Р(1) = 0,6.

Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24.

Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096.

Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384;

Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536. 0,01536<0?02, следовательно, ответ: 5 выстрелов.". По моему, в такой редакции решение не корректно. Если бы стреляющий не мог знать итогов выстрела (попал,-не попал), то тогда решение верное. 5 выстрелов дают требуемую вероятность поражения.У нас совсем другая история... А как Вы думаете?

задан 14 Апр 22:45

@nynko: я здесь не вижу ошибки. Как это всё может быть связано со знанием или незнанием? И какая версия толкования условия здесь ещё возможна, где ответ был бы другим?

(14 Апр 23:41) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Вариант 1: Стреляем $%n$% раз ... попали хотя бы один раз... Тогда $$ P_n(1)+P_n(2)+\ldots+P_n(n) = 1-P_n(0) = 1-0.6\cdot (0.4)^{n-1}\ge 0.98, $$ здесь $%P_n(m)$% - вероятность $%m$% попаданий при $%n$% выстрелах

Вариант 2: Процесс останавливается при первом попадании.... тогда $$ P(X=1)+P(X=2)+\ldots+P(X=n)=\\ =0.4+0.6\cdot 0.6+0.6\cdot 0.4\cdot 0.6+0.6\cdot 0.4^2\cdot 0.6+\ldots+0.6\cdot 0.4^{n-2}\cdot 0.6= \\ 0.4+\frac{0.6^2\cdot(1-0.4^{n-1})}{1-0.4} = 0.4+0.6\cdot(1-0.4^{n-1})=1-0.6\cdot (0.4)^{n-1}\ge 0.98, $$ здесь $%X$% - это число выстрелов...
Пи желании, в этом варианте ещё можно подтянуть формулу полной вероятности... типа $%P(H_k) = P(X=k)$% - вероятность гипотезы о попадании при $%k$% выстреле... событие $%A$% - цель уничтожена... $%P(A|H_k)$% равно 1 или 0 до некоторого $%n$% и после него... Но это уже извращения... )))

ЗЫ: По ходу авторы в курсе, что получается одно и то же... поэтому сократили объяснения до минимума... )))

ссылка

отвечен 15 Апр 9:54

изменен 15 Апр 9:56

@falcao. Простите, но я рассуждаю так: Если "стреляющий" не видит результата своего выстрела, то, выпустив 5 снарядов, он знает, что с вероятностью 0,01536 цель поражена и больше не стреляет. А если он каждый раз знает итог выстрела, то может стрельнуть один, два,..., 5 раз и попасть и больше не стрелять. Но он может сделать даже 10 выстрелов и так и не попасть (пусть с малой вероятностью) и продолжить стрелять до попадания. Поэтому, задача сформулирована не корректно.

(15 Апр 10:40) nynko

@nynko, А если он каждый раз знает итог выстрела - в подобного сорта задачах говорится об априорной вероятности, то есть до проведения эксперимента пытаемся сказать с какой вероятностью произойдёт то или иное событие ...

Ну, то есть имеем пушку... вопрос сколько снарядов ей надо выделить, чтобы с некоторой вероятностью быть уверенными, что цель будет поражена... можно дать 5 снарядов, а можно 10... понятно, что для 10 снарядов вероятность поражения цели будет выше... но 5 достаточно, чтобы превзойти указанный порог...

(15 Апр 11:57) all_exist

@nynko: задача сформулирована корректно. При фиксированном числе выстрелов, вероятность поразить цель определена однозначно. Она находится чисто теоретически, и при этом не надо ни делать выстрелов, ни следить за промежуточным результатом. Требуется найти такое n (число выстрелов), при котором вероятность попадания p(n) будет не меньше 98%.

Возможность досрочного попадания ничего не портит, так как 5 снарядов хватило, а важно только это (мы же не матожидание находим). То, что с малой вероятностью может не хватить 5 снарядов -- это правда, но это происходит с p < 0,02, как и обещано.

(15 Апр 14:37) falcao

@falcao,@all_exist.Спасибо за Ваше терпение. Я буду еще над этим думать. Добавлю также, что не я один нахожусь в состоянии сомнения по поводу этой задачи...

(16 Апр 10:32) nynko
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×586
×45

задан
14 Апр 22:45

показан
102 раза

обновлен
16 Апр 10:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru