Доказать, что для любого оператора верно: $%{\rm im}(A^{\ast}A)={\rm im\,}A^{\ast}$% ($%A^{\ast}$% - сопряженный оператор). Включение "$%\subset$%" я показал, не понятно, как доказать обратное.

задан 14 Апр 23:41

изменен 15 Апр 1:11

falcao's gravatar image


205k1636

@BlackWolf: "звёздочки" здесь некорректно отображаются, их надо в математическом режиме изображать при помощи команды \ast

Сейчас тут "квадратики" появились, они не читаются.

Если в левой части образ произведения операторов A*A, то скобка не там должна стоять.

(14 Апр 23:51) falcao

Да, имеется ввиду образ произведения.

(14 Апр 23:52) BlackWolf

@BlackWolf: давайте я тогда исправлю, чтобы всё было правильно, и все символы читались.

(14 Апр 23:55) falcao

@falcao: Хорошо, буду рад.

(14 Апр 23:57) BlackWolf
10|600 символов нужно символов осталось
1

Я так понимаю, речь о конечномерных евклидовых пространствах. Рассмотрим случай вещественного пространства (для комплексного всё аналогично, но вообще-то тип пространства должен быть конкретизирован в условии).

Оператор $%A^{\ast}A$% самосопряжён, и его можно диагонализировать в некотором базисе. Векторы базиса можно переставить так, чтобы все нули на диагонали, если они есть, находились в конце. Пусть $%r$% -- число ненулевых столбцов. Образ оператора $%A^{\ast}A$% описывается линейной оболочкой столбцов матрицы. Она будет порождена первыми $%r$% векторами базиса.

Заметим, что матрица оператора $%A^{\ast}A$% состоит из попарных скалярных произведений столбцов матрицы $%A$%, которые попарно ортогональны, так как матрица $%A^{\ast}A$% диагональна. Все столбцы кроме первых $%r$% у матрицы $%A$% нулевые, так как их скалярные квадраты равны нулю. Первые $%r$% столбцов ненулевые, и они линейно независимы, так как образуют ортогональную систему. Значит, у транспонированной матрицы $%A^{\ast}$% первые $%r$% строк линейно независимы, а остальные строки нулевые. Столбцы порождают подпространство размерности $%r$% в пространстве, порождённом первыми $%r$% векторами базиса. Значит, оно, являясь образом $%A^{\ast}A$%, совпадает с линейной оболочкой первых $%r$% базисных векторов. Отсюда следует, что образы у $%A^{\ast}$% и $%A^{\ast}A$% одинаковы.

ссылка

отвечен 15 Апр 1:25

@falcao Не совсем ясно, почему подпространство, порождаемое r столбцами A*, является образом AA.

(16 Апр 20:05) BlackWolf
1

@BlackWolf: ранги матриц A и A^T равны r. Матрица A такова: r линейно независимых столбцов, и n-r нулевых. У транспонированной матрицы A^T получается n-r нулевых строк в конце. Тогда столбцы принадлежат линейной оболочке единичных векторов-столбцов e(1),...,e(r). Образ -- линейная оболочка столбцов, размерность равна рангу матрицы, то есть r. Размерности совпадают, и тогда образ совпадает с линейной оболочкой e(1),...,e(r). Про которую мы уже знаем, что это образ A^{T}A.

(16 Апр 21:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,452
×938
×18

задан
14 Апр 23:41

показан
56 раз

обновлен
16 Апр 21:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru