3
1

Здравствуйте! Пусть $%f \in C[0, \infty), 0 < f(x) < 1, \int\limits_{0}^{\infty}f(x)dx=a$%. Доказать, что $$\int\limits_{0}^{\infty}xf(x)dx > \tfrac {a^2} 2.$$

задан 15 Апр 4:32

изменен 15 Апр 4:32

10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим функцию $$ F(y) = \int_{0}^{y} f(x)\;dx \to 2a \;\;\;\text{при} \;\; y\to +\infty $$ (я, чтобы дальше не писать лишних дробей, переобозначил значение интеграла из условия) ... Требуется доказать, что $$ \int_{0}^{+\infty} x\,f(x)\;dx > 2a^2 $$

Преобразуем интеграл $$ \int_{0}^{b} x\,f(x)\;dx = \int_{0}^{a} x\,f(x)\;dx + \int_{a}^{b} x\,f(x)\;dx = I+J $$

$$ I=\int_{0}^{a} x\,F'(x)\;dx = a F(a)- \int_{0}^{a} F(x)\;dx $$

$$ J= \int_{a}^{b} x\,\Big(F(x)-2a\Big)'\;dx = b\Big(F(b)-2a\Big) - a\Big(F(a)-2a\Big)+ \int_{a}^{b} \Big(a-F(x)\Big)\;dx $$

Тут надо говорить про сходимость, но у меня "ночной ступор"... поэтому предположу, что $%b\Big(F(b)-2a\Big)\to 0$% при $%b\to +\infty$% ...
При сделанном предположении интегралы слева и справа сходятся или расходятся одновременно... случай расходимости можно пропустить, поскольку доказываемое неравенство будет верным ... а в случае сходимости $$ J= \int_{a}^{+\infty} x\,\Big(F(x)-2a\Big)'\;dx = 2a^2 - a F(a) + \int_{a}^{+\infty} \Big(a-F(x)\Big)\;dx $$

Итого, $$ \int_{0}^{+\infty} x\,f(x)\;dx = 2a^2 + \int_{a}^{+\infty} \Big(a-F(x)\Big)\;dx - \int_{0}^{a} F(x)\;dx $$

Посмотрим с геометрической точки зрения на разность полученных в правой части интегралов... Первый интеграл - это площадь над графиком до вертикальной прямой (серая фигура), а второй - площадь под графиком (зелёная фигура)... условие, что $%f(y) = F'(y) < 1$% гарантирует, что график функции $%F(y)$% будет лежать ниже ломаной, нарисованной синим цветом...

alt text

Итого, получаем, что разность интегралов положительна (что доказывается сравнением с площадями треугольников), откуда и следует требуемое неравенство...

ссылка

отвечен 15 Апр 17:37

изменен 16 Апр 0:16

@falcao, я полностью поменял ответ... и чтобы не смущать стороннего читателя, удалил все свои и Ваши предыдущие комменты... прошу прощения...

(16 Апр 0:18) all_exist

@all_exist: я сегодня в перерывах между занятиями понял суть этой задачи. Всё действительно следует из Вашего рисунка, а если аналитически, то надо вводить функцию, обратную F, и делать замену в интеграле. А если пронормировать F и получить функцию распределения, то получается вероятностная интерпретация с матожиданием. Так или иначе, с геометрией возникает полная ясность на предмет того, откуда что здесь берётся.

(16 Апр 23:03) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,042

задан
15 Апр 4:32

показан
133 раза

обновлен
16 Апр 23:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru