Вещественное число $%a$% является корнем уравнения $$x^5+x-5=0$$ Придумайте уравнение пятой степени с целыми коэффициентами, корнем которого будет число $%a^2$%

задан 16 Апр 0:56

10|600 символов нужно символов осталось
2

Известная задача... и тут уже несколько раз встречалась для уравнения третьей степени..

$$ f(x) = \prod_{k=1}^{5} (x-a_k), \quad -f(-x) = \prod_{k=1}^{5} (x+a_k) $$ тогда $$ -f(x)\cdot f(-x) = \prod_{k=1}^{5} (x^2-a_k^2) $$ обозначили $%x^2 = y$% и получили ответ...

ссылка

отвечен 16 Апр 1:10

@all_exist, большое спасибо!

(16 Апр 1:11) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%f(x)=x^5+x-5=(x-x_1)\ldots(x-x_5)$% -- разложение на линейные множители над $%\mathbb C$%, где один из корней равен $%a$% (вещественный корень у многочлена ровно один, так как функция возрастает). Рассмотрим многочлен

$%g(x)=(x^2-x_1^2)\ldots(x^2-x_5^2)=(x-x_1)\ldots(x-x_5)(x+x_1)\ldots(x+x_5)=-f(x)f(-x)=$%

$%=(x^5+x-5)(x^5+x+5)=(x^5+x)^2-25=x^2(x^4+1)^2-25=y(y^2+1)^2-25=$%

$%=y^5+2y^3+y-25$%, где $%y=x^2$%. Из построения ясно, что $%g(a)=0$%, поэтому $%y=a^2$% будет корнем многочлена $%=y^5+2y^3+y-25$% пятой степени.

Возможны и другие способы решения, которые не требуют упоминания комплексных чисел. В частности, если "догадаться" перемножить $%f(x)$% и $%f(-x)$%, то достаточно самого конца рассуждения. Есть также способ, основанный на соображениях в духе линейной алгебры.

ссылка

отвечен 16 Апр 1:14

@falcao, большое спасибо!

(16 Апр 1:19) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru