0
1

Здравствуйте! Непрерывная четная функция $%\phi(x)$% определена на отрезке $%[-1, 1]$%, причем $%\phi(x)\ge 0, \int\limits_{-1}^{1}\phi(x)dx=1$%. Известно, что для дважды дифференцируемой функции $%f(x)$% и для любого $%a > 0$% $$f(x)\le \int\limits_{-1}^{1}\phi(y)f(x+ay)dy.$$ Доказать, что $%f''(x)\ge 0$%.

задан 16 Апр 3:24

изменен 16 Апр 3:24

10|600 символов нужно символов осталось
0

Если считать вторую производную непрерывной, то всё из Тейлора и теоремы о среднем следует. $%f(x)\leqslant\int\limits_{-1}^1\varphi(y)\left(f(x)+f'(x)ay+\frac12f''(x+\theta ay)a^2y^2\right)\,dy=$% $%f(x)+\frac{a^2}{2}\int\limits_{-1}^1f''(x+\theta ay)\varphi(y)y^2\,dy=f(x)+\frac{a^2}{2}f''(x+\theta' a)\int\limits_{-1}^1\varphi(y)y^2dy.$%

Здесь $%0<\theta <1, \, |\theta'|\leqslant \theta .$% Так как $%\int\limits_{-1}^1\varphi(y)y^2dy>0,$% то отсюда получим $% f''(x+\theta' a)\geqslant 0.$% Переходим к пределу при $%a\to0\,.$%

Непрерывность на самом деле не нужна. Переписывать неохота - просто те же выкладки с остатком в форме Пеано дают $%f''(x)+\int\limits_{-1}^1o(1)\,dy=f''(x)+o(1)\geqslant 0.$% Переходим к пределу при $%a\to 0$%.

ссылка

отвечен 17 Апр 8:46

изменен 18 Апр 4:31

@bot, а зачем вообще $%\varphi$% вытаскивать из под интеграла?...

(17 Апр 15:48) all_exist

А и в самом деле - не надо, щас подправлю. Спасибо.

(18 Апр 3:51) bot
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,045

задан
16 Апр 3:24

показан
133 раза

обновлен
18 Апр 4:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru