Пусть $%V$% - векторное пространство и $%\phi_1,\dots,\phi_p\in V^\ast;v_1,\dots,v_p\in V$%. Доказать, что $$\phi_1\wedge\dots\wedge\phi_p(v_1,\dots,v_p)=\frac{1}{p!}\det[\phi_i(v_j)]$$

Определения:

Если $%T$% это $%p$%-тензор на $%V$% (p-линейное отображение $%V^p\to \mathbb R)$%, то $$\operatorname{Alt}(T)(v_1,\dots,v_p)=\frac{1}{p!}\sum_{\sigma \in S_p}\operatorname{sgn}\sigma\cdot T(v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(n)})$$ и если $%T_i$% это альтернированные i-тензоры на $%V$% для $%i=1,\dots, n$%, то$$T_1\wedge\dots\wedge T_n=\operatorname{Alt}(T_1\otimes\dots\otimes T_n).$$

Здесь $%S_1\otimes S_2(v_1,\dots,v_{k+l})=S_1(v_1, \dots , v_k) S_2(v_{k+1},\dots,v_{l+1})$% и определение аналогично распространяется на случай большего числа тензорных множителей (https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product#Tensor_product_of_linear_maps).

Я могу доказать для случая $%p=k$%: $$\phi_1\wedge\dots\wedge \phi_k(v_1,\dots,v_k)=\operatorname{Alt}(\phi_1\otimes\dots\otimes \phi_k)(v_1,\dots,v_k)=\\\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}\sigma \cdot \phi_1(v_{\sigma(1)})\dots\phi_k(v_{\sigma(k)})=\frac{1}{k!}\det[\phi_i(v_j)].$$

Как доказать для общего случая $%p< k$%?

задан 16 Апр 21:37

изменен 17 Апр 4:50

Причем даже из интуитивных соображений непонятно, как это может вообще быть верно для p< k. Последнее равенство нарушается сразу. Или при p< k под матрицей [ф_i(v_j)] имеется в виду не матрица размера k на k, а какая-то ее подматрица размера p на p?

(18 Апр 1:22) wart
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,606

задан
16 Апр 21:37

показан
65 раз

обновлен
18 Апр 1:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru