-1

Докажите, что кольцо C[x, y]/(x2 + y2 − 1) не изоморфно C[x], но его поле частных изоморфно C(x)

задан 19 Апр 19:26

10|600 символов нужно символов осталось
-2

В факторкольце выполняется равенство $%(x+iy)(x-iy)=1$%. Значит, оба эти элемента обратимы. При изоморфизме они переходят в обратимые. Пусть это $%a$% и $%a^{-1}$% из $%\mathbb C$% (других обратимых элементов там нет). Тогда $%x$% переходит в $%\frac{a+a^{-1}}2\in\mathbb C$%, а также $%iy$% переходит в $%\frac{a-a^{-1}}2\in\mathbb C$%. Все ненулевые элементы из $%\mathbb C$% как подмножества факторкольца, обратимы в нём, и при изоморфизме должны перейти в обратимые. Отсюда следует, что образ всего факторкольца должен перейти в $%\mathbb C$%, и тогда не получается сюръекции на кольцо многочленов.

Докажем утверждение насчёт поля частных. Рассмотрим гомоморфизм из $%\mathbb C[x,y]$% в $%\mathbb C(t)$%, полагая $%x\mapsto\frac{1-t^2}{1+t^2}$%, $%y\mapsto\frac{2t}{1+t^2}$%. Ввиду хорошо известного тождества, $%x^2+y^2-1$% лежит в ядре, и гомоморфизм пропускается через факторкольцо по главному идеалу. Докажем, что ядро рассматриваемого выше гомоморфизма с этим идеалом совпадает, что даст вложение факторкольца $%\mathbb C[x,y]/(x^2+y^2-1)$% в поле $%\mathbb C(t)$%.

Пусть $%f(x,y)$% -- многочлен из ядра. Рассмотрим его остаток от деления на $%y^2+x^2-1$%, имеющий вид $%g(x)+yh(x)$%. Он также лежит в ядре, и для него выполняется тождество $%g(\frac{1-t^2}{1+t^2})+\frac{2t}{1+t^2}h(\frac{1-t^2}{1+t^2})=0$%. Если $%h$% ненулевой как многочлен, то $%t$% представляется в виде рациональной функции от $%t^2$%, то есть $%t=\frac{P(t^2)}{Q(t^2)}$% для некоторых многочленов. Но это значит, что $%tQ(t^2)=P(t^2)$%, где слева все мономы в нечётной степени, а справа в чётной, что возможно только в случае $%P=Q=0$% тождественно. Таким образом, $%h=0$%, и тогда $%g=0$%, то есть остаток от деления нулевой, и $%f(x,y)$% принадлежит главному идеалу $%(x^2+y^2-1)$%.

Мы построили вложение факторкольца в $%\mathbb C(t)$%, и осталось заметить, что $%t$% рационально выражается через $%\frac{1-t^2}{1+t^2}$% и $%\frac{2t}{1+t^2}$% по формуле $%t=\frac{y}{x+1}$%. Следовательно, $%C(t)$% есть наименьшее подполе, содержащее данное кольцо, и оно тем самым изоморфно его полю частных.

ссылка

отвечен 19 Апр 20:23

изменен 18 Май 21:31

Прошу прощения, а какое тождество вы имели ввиду во втором абзаце?

(16 Май 3:53) Hector

@Hector: что сумма квадратов двух выражений от t равна 1.

(16 Май 3:59) falcao

@falcao, а для чего нужно смотреть остатки от деления на y^2+1-x^2?

(18 Май 18:18) Hector
1

Имею ввиду, почему не на x^2+y^2-1?

(18 Май 21:03) Hector

@Hector: конечно, берутся остатки от деления на y^2+x^2-1. Это у меня явная опечатка. Я исправил.

(18 Май 21:30) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,488
×1,007
×79
×35

задан
19 Апр 19:26

показан
136 раз

обновлен
18 Май 21:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru