Доказать, что для произвольного натурального $%n:$% $$ \sum \limits_{k=1}^{2n+1} (-1)^{k+1} F_k \: \text{arcctg} F_k < \frac{\pi+1-\sqrt{5}}{2}$$ где $%F_k$% - это $%k$%-ое число Фибоначчи (последовательность чисел Фибоначчи задается следующим образом: $%F_1=F_2=1, \; F_{n+2}=F_{n+1}+F_n, \; n \in \mathbb{N} $% )

задан 25 Апр 16:43

изменен 25 Апр 17:06

10|600 символов нужно символов осталось
4

$$S_{2n+1}=F_1\cdot \text {arcctg}( F_1)-F_2\cdot \text {arcctg}( F_2)+F_3\cdot \text {arcctg}( F_3)- . . . +F_{2n+1}\cdot \text {arcctg}( F_{2n+1})$$

Тогда: $$S_{2n+1}=\dfrac{\pi}{2}-F_{2n+1}\cdot \text {arcctg}( F_{2n+2})$$

при $%n=0- $% верно.

Воспользуемся: $% \text {arcctg}( F_{2m})-\text {arcctg}( F_{2m+2})= \text {arcctg}( F_{2m+1})$%

$$S_{2n+3}=\dfrac{\pi}{2}-F_{2n+1}\cdot \text {arcctg}( F_{2n+2})-F_{2n+2}\cdot \text {arcctg}( F_{2n+2})+F_{2n+3}\cdot \text {arcctg}( F_{2n+3})=$$

$$=\dfrac{\pi}{2}-F_{2n+3}\cdot \text {arcctg}( F_{2n+4})$$

$$S_{2n+1}=\dfrac{\pi}{2}-F_{2n+1}\cdot \text {arcctg}( F_{2n+2})=\dfrac{\pi}{2}-F_{2n+1}\cdot \text {arctg}\left(\dfrac{1}{ F_{2n+2}}\right)$$

$$F_{2n+1}=\dfrac{\phi^{2n+1}+\phi^{-(2n+1)}}{\sqrt 5}\ , \ F_{2n+2}=\dfrac{\phi^{2n+2}-\phi^{-(2n+2)}}{\sqrt 5}\ \ \ \ \left(\phi= \dfrac{1+\sqrt 5}{2}\right)$$

$$F_{2n+1}\cdot \text {arctg}\left(\dfrac{1}{ F_{2n+2}}\right)>\dfrac{1}{\phi}$$

$$ \tan^2\left(\dfrac{1}{\phi \cdot F_{2n+1}}\right)<\dfrac{\frac{1}{\phi^2\cdot F_{2n+1}^2}}{1-\frac{1}{\phi^2\cdot F_{2n+1}^2}}< \dfrac{1}{F_{2n+2}^2} \Leftrightarrow \phi^2F_{2n+1}^2-1 >F_{2n+2}^2 \Leftrightarrow 2\phi^2>3$$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}S_{2n+1}= \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{\phi}$$

ссылка

отвечен 25 Апр 20:39

изменен 25 Апр 23:43

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,035
×838
×239
×238
×2

задан
25 Апр 16:43

показан
184 раза

обновлен
25 Апр 23:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru