Числа $%1, 2, 3, \dots , 2018$% разбили на пары, при этом оказалось, что произведение чисел в каждой паре не превосходит некоторого натурального $%n$%. При каком наименьшем $%n$% это возможно? А при каком наибольшем $%n$% это возможно (разумеется, в этом случае "не превосходит" нужно заменить на "не меньше")?

задан 26 Апр '18 1:20

изменен 26 Апр '18 1:25

10|600 символов нужно символов осталось
3

На второй вопрос ответ совсем очевидный $%n=2018=1 \cdot 2018$% . Действительно, во первых, если единичка входит в пару с числом меньшим 2018, то будет меньшее произведение. Во вторых, если числа разбить на пары $%k \cdot (2019 - k)$%, то тогда $%k(2019-k) \ge 2018$%, ибо это неравенство равносильно неравенству $%(2018-k)(k-1) \ge 0$% . А теперь решаем первый пункт задачи. Тоже, для примера, числа разбиваем на пары $%k \cdot (2019 - k)$% . В этом случае имеет место неравенство $%k(2019-k) \le 1009 \cdot 1010$%, ибо оно равносильно неравенству $%(k-1009)(k-1010) \ge 0$% (обе скобки либо отрицительные либо положительные либо одна из них равна нулю). Осталось доказать, что $%n$% не может быть меньше, чем $%1009 \cdot 1010$% . Чтобы $%n$% не было больше, необходимо, чтобы все числа от 1010 до 2018 сочетались в парах с числами от 1 до 1009. При этом, если число 1010 не будет входить в одну пару з числом 1009, то в пару з числом 1009 будет входить число большее за 1010 и тогда произведение будет больше.

ссылка

отвечен 26 Апр '18 2:49

1

@Witold2357, большое спасибо!

(26 Апр '18 11:01) Казвертеночка
2

Вчера я точно такое же рассуждение рассмотрел, но компьютер уже пора было выключать, поэтому я его не записывал.

(26 Апр '18 11:49) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,401
×253
×144
×101
×5

задан
26 Апр '18 1:20

показан
634 раза

обновлен
26 Апр '18 11:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru