|
Числа $%1, 2, 3, \dots , 2018$% разбили на пары, при этом оказалось, что произведение чисел в каждой паре не превосходит некоторого натурального $%n$%. При каком наименьшем $%n$% это возможно? А при каком наибольшем $%n$% это возможно (разумеется, в этом случае "не превосходит" нужно заменить на "не меньше")? задан 26 Апр '18 1:20 
Казвертеночка |
|
На второй вопрос ответ совсем очевидный $%n=2018=1 \cdot 2018$% . Действительно, во первых, если единичка входит в пару с числом меньшим 2018, то будет меньшее произведение. Во вторых, если числа разбить на пары $%k \cdot (2019 - k)$%, то тогда $%k(2019-k) \ge 2018$%, ибо это неравенство равносильно неравенству $%(2018-k)(k-1) \ge 0$% . А теперь решаем первый пункт задачи. Тоже, для примера, числа разбиваем на пары $%k \cdot (2019 - k)$% . В этом случае имеет место неравенство $%k(2019-k) \le 1009 \cdot 1010$%, ибо оно равносильно неравенству $%(k-1009)(k-1010) \ge 0$% (обе скобки либо отрицительные либо положительные либо одна из них равна нулю). Осталось доказать, что $%n$% не может быть меньше, чем $%1009 \cdot 1010$% . Чтобы $%n$% не было больше, необходимо, чтобы все числа от 1010 до 2018 сочетались в парах с числами от 1 до 1009. При этом, если число 1010 не будет входить в одну пару з числом 1009, то в пару з числом 1009 будет входить число большее за 1010 и тогда произведение будет больше. отвечен 26 Апр '18 2:49 
Witold2357 2
Вчера я точно такое же рассуждение рассмотрел, но компьютер уже пора было выключать, поэтому я его не записывал.
(26 Апр '18 11:49)
falcao
|