олимпиада - Очень сложное неравенство

ОДЗ определяется из системы $%-x-2>0$% и $%x+4>0$% , $%x\in (-4;-2)$% Умножая обе части на $%\sqrt{x+4}\cdot\sqrt{-x-2}>0,$% получаем равносильное неравенство

$%\sqrt{x+4}+\sqrt{-x-2}>\sqrt{x+4}\sqrt{-x-2}+1\Leftrightarrow \sqrt{x+4}(1-\sqrt{-x-2})-(1-\sqrt{-x-2})>0\Leftrightarrow $%

$%\Leftrightarrow (\sqrt{x+4}-1)(1-\sqrt{-x-2})>0 $%. Левая часть имеет один корень: $%-3. $% Этой точкой ОДЗ разделяется на две части,в которых левая часть ввиду непрерывности сохраняет знак "+", значит решение неравенства $%(-4;-3)\cup(-3;-2).$%

Ответ. $%(-4;-3)\cup(-3;-2).$%

Неравенство имеет вид $%a+b > 1+ab$% для некоторых чисел $%a$% и $%b$%. В этом случае можно записать $%ab-a-b+1 < 0$%, и левая часть здесь разложима на множители: $%(a-1)(b-1) < 0$%. Таким образом, числа $%a-1$% и $%b-1$% должны иметь разные знаки.

Если $%a < 1$%, $%b > 1$%, то это означает, что для квадратных корней, стоящих в знаменателе, всё наоборот: $%\sqrt{-x-2} > 1$%, $%\sqrt{x+4} < 1$%. Первое неравенство равносильно тому, что $%-x-2 > 1$%, то есть $%x < -1$%. Второе неравенство означает, что $%0 < x+4 < 1$%, то есть $%x\in(-4,-3)$%. Первое неравенство при таких $%x$% будет справедливо.

Если $%a > 1$%, $%b < 1$%, то $%\sqrt{-x-2} < 1$%, $%\sqrt{x+4} > 1$%. Отсюда $%0 < -x-2 < 1$%, $%x+4 > 1$%. Системе из этих двух условий удовлетворяют $%x\in(-3,-2)$%.

Собирая решения, полученные для первого и второго случая, получаем ответ: $%x\in(-4,-3)\cup(-3,-2)$%.

Можно заметить, что это в точности область определения неравенства, за исключением $%x=-3$%, при котором неравенство превращается в равенство.

$$\Leftrightarrow\Big(\frac{1}{\sqrt{x+4}}-1\Big)\Big(\frac{1}{\sqrt{-x-2}}-1\Big)<0\Leftrightarrow x\in(-4;-3)\cup(-3;-2).$$