Здравствуйте! Нужно вычислить определитель матрицы $%{||a_{ij}||} (i, j=1..n)$%, где $%a_{ij} = (x + i)^j - (x + i - 1)^j$%, а $%x$% - действительное число.

задан 1 Май '18 3:49

изменен 1 Май '18 3:52

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$ \det A = \Big| A_1\; A_2\; A_3\;\ldots \Big|, \quad\text{где}\quad A_j= \begin{pmatrix} (x+1)^j-x^j \\ (x+2)^j-(x+1)^j \\ (x+3)^j-(x+2)^j \\ \ldots \end{pmatrix}\quad -\;\;k\text{-ый столбец матрицы...} $$ Продифференцируем по иксу

$$ \Big( \det A \Big)' = \Big| A_1'\; A_2\; A_3\;\ldots \Big| + \Big| A_1\; A_2'\; A_3\;\ldots \Big| + \Big| A_1\; A_2\; A_3'\;\ldots \Big| + \ldots $$

Понятно, что $%A_1'=0$% - так как первый столбец состоит из единиц, и $%A_j' = j\cdot A_{j-1}$% при $%j>1$%... Таким образом, все слагаемые будут нулевыми... то есть $%\det A$% не зависит от икса...

Следовательно, определитель достаточно вычислить при каком-нибудь конкретном значении икса, например, при $%x=0$%... тогда столбцы примут вид $$ A_j= \begin{pmatrix} 1^j \\ 2^j-1^j \\ 3^j-2^j \\ \ldots \end{pmatrix}, $$ прибавляя последовательно строчки - первую ко второй, вторую к третьей и так далее, получим $$ \bar{A}_j= \begin{pmatrix} 1^j \\ 2^j \\ 3^j \\ \ldots \end{pmatrix} $$ то есть получился определитель Вандермонда, умноженный на $%n!$%...

ссылка

отвечен 1 Май '18 9:32

изменен 1 Май '18 12:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,158
×358
×91

задан
1 Май '18 3:49

показан
225 раз

обновлен
1 Май '18 12:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru